(integral indefinida)
\int \operatorname{sen}(\log x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(\log x)\,dx
Esse problema envolve funções compostas e exponenciais, então a ideia é fazer a substituição u = \log x, transformar em uma integral de e^u\operatorname{sen} u e usar integração por partes.

Passo 2

Fazendo u = \log x, temos
x = e^u,\quad du = \frac{1}{x}\,dx\;\Longrightarrow\;dx = e^u\,du.
Logo
\int \operatorname{sen}(\log x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,e^u\,du.

Passo 3

Definimos
I = \int e^u\operatorname{sen} u\,du.
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha
v = e^u,\quad d w = \operatorname{sen} u\,du
então
dv = e^u\,du,\quad w = -\cos u,
e
I = -e^u\cos u - \int \bigl(-\cos u\bigr)e^u\,du = -e^u\cos u + \int e^u\cos u\,du.
Chame a segunda integral de
J = \int e^u\cos u\,du.
Para J, integramos por partes de novo com
v = e^u,\quad d w = \cos u\,du
de onde
dv = e^u\,du,\quad w = \operatorname{sen} u,
então
J = e^u\operatorname{sen} u - \int e^u\operatorname{sen} u\,du = e^u\operatorname{sen} u - I.
Voltando a I, temos
I = -e^u\cos u + J = -e^u\cos u + \bigl(e^u\operatorname{sen} u - I\bigr)
2I = e^u\operatorname{sen} u - e^u\cos u \;\Longrightarrow\; I = \frac{e^u}{2}\bigl(\operatorname{sen} u - \cos u\bigr).

Passo 4

Voltando à variável x, lembramos que e^u = x e u = \log x. Logo a integral original vale
\int \operatorname{sen}(\log x)\,dx = \frac{x}{2}\Bigl[\operatorname{sen}(\log x)-\cos(\log x)\Bigr] + C.

Resposta

\int \operatorname{sen}(\log x)\,dx = \frac{x}{2}\bigl[\operatorname{sen}(\log x) - \cos(\log x)\bigr] + C.

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