, em que
é a região delimitada pelas retas
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! A questão pede para calcular
, onde a região
é limitada pelas retas
,
,
e
. A gente vai precisar entender integração dupla e como definir os limites de integração com base nas retas que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as retas para visualizar a região
. As retas são:
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para saber os cantos do nosso “polígono” de integração.
-
Onde
intercepta :
Substituindoem , temos e . -
Onde
intercepta :
Substituindoem , temos e . -
Onde
intercepta :
Substituindoem , temos e . -
Onde
intercepta :
Substituindoem , temos e .
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos ver que a região
é um trapézio com vértices em
,
,
e
.
Passo 5
Vamos escolher a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos expressar os limites de
em termos de
.
Passo 6
Observando a região, para cada
entre
e
, os limites de
variam entre as retas inferiores e superiores. As retas inferiores são
e
, e as retas superiores são
e
.
Passo 7
Vamos dividir a integração em duas partes para facilitar:
- De
a , os limites de vão de até . - De
a , os limites de vão de até .
Passo 8
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em relação a
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, resolver a segunda integral:
Integrando em relação a
:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, vamos calcular essas integrais passo a passo e somar os resultados para obter o valor final da integral dupla.
Resposta
Após calcular as integrais, o valor final é
.