integral duplaR yx d A, em que R é a região delimitada pelas retas x+y=1, x+y=3, y=2 x, y=x / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! A questão pede para calcular integral duplaR yx , dA, onde a região R é limitada pelas retas x+y=1, x+y=3, y=2x e y=x2. A gente vai precisar entender integração dupla e como definir os limites de integração com base nas retas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as retas para visualizar a região R. As retas são:
  1. x + y = 1
  2. x + y = 3
  3. y = 2x
  4. y = x2

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para saber os cantos do nosso “polígono” de integração.
  • Onde x + y = 1 intercepta y = 2x:
    Substituindo y = 2x em x + y = 1, temos x + 2x = 1 Rightarrow 3x = 1 Rightarrow x = 13 e y = 23.
  • Onde x + y = 1 intercepta y = x2:
    Substituindo y = x2 em x + y = 1, temos x + x2 = 1 Rightarrow 3x2 = 1 Rightarrow x = 23 e y = 13.
  • Onde x + y = 3 intercepta y = 2x:
    Substituindo y = 2x em x + y = 3, temos x + 2x = 3 Rightarrow 3x = 3 Rightarrow x = 1 e y = 2.
  • Onde x + y = 3 intercepta y = x2:
    Substituindo y = x2 em x + y = 3, temos x + x2 = 3 Rightarrow 3x2 = 3 Rightarrow x = 2 e y = 1.

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos ver que a região R é um trapézio com vértices em (13, 23), (23, 13), (1, 2) e (2, 1).

Passo 5

Vamos escolher a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em y e depois em x. Para isso, precisamos expressar os limites de y em termos de x.

Passo 6

Observando a região, para cada x entre 13 e 2, os limites de y variam entre as retas inferiores e superiores. As retas inferiores são y = x2 e y = 2x, e as retas superiores são y = -x + 1 e y = -x + 3.

Passo 7

Vamos dividir a integração em duas partes para facilitar:
  1. De x = 13 a x = 23, os limites de y vão de y = 2x até y = -x + 1.
  2. De x = 23 a x = 2, os limites de y vão de y = x2 até y = -x + 3.

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral duplaR yx , dA = integral13^23 integral2x^-x + 1 yx , dy , dx + integral23^2 integralx2^-x + 3 yx , dy , dx

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:
integral13^23 integral2x^-x + 1 yx , dy , dx
Integrando em relação a y:
integral13^23 [ 1x cdot y^22 ]2x^-x + 1 dx = integral13^23 ( (-x + 1)^22x - (2x)^22x ) dx
Simplificando:
integral13^23 ( x^2 - 2x + 12x - 4x^22x ) dx = integral13^23 ( x - 2 + 1x2 - 2x ) dx

Passo 10

Agora, resolver a segunda integral:
integral23^2 integralx2^-x + 3 yx , dy , dx
Integrando em relação a y:
integral23^2 [ 1x cdot y^22 ]x2^-x + 3 dx = integral23^2 ( (-x + 3)^22x - (x2)^22x ) dx
Simplificando:
integral23^2 ( x^2 - 6x + 92x - x^28x ) dx = integral23^2 ( x - 6 + 9x2 - x8 ) dx

Passo 11

Finalmente, vamos calcular essas integrais passo a passo e somar os resultados para obter o valor final da integral dupla.

Resposta

Após calcular as integrais, o valor final é 2.

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