(b) integral duplaS F cdot N d sigma, onde S e x^2+y^2-2 z^2=1 é a parte de 0 <= z <= 1 com N, orientada com a normal unitária N cdot k <= 0 tal que .

Passo 1

O exercício pede para calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec N,dsigma, onde
vec F(x,y,z)=x,vec i+y,vec j+z,vec k(x^2+y^2+z^2)^3/2+z,vec k e
S é a parte da superfície
a hiperbolóide
x^2+y^2-2z^2=1 para
0<= z<=1, com normal unitária dirigida para baixo ( vec Ncdotvec k<=0).
Conteúdo usado: Teorema da Divergência e cálculo de fluxos em superfícies fechadas.

Passo 2

Vamos decompor
vec F=vec F1+vec F2 com
vec F1=tfracx,vec i+y,vec j+z,vec k(x^2+y^2+z^2)^3/2
e
vec F2=z,vec k.
Como para rne0
div,vec F1=0 e
div,vec F2=tfracpartialpartial z(z)=1, segue
div,vec F=1

Passo 3

Definimos a região
V=(x,y,z):0<= z<=1,;x^2+y^2<=1+2z^2, cuja fronteira é
partial V=Scup D0cup D1, onde
D0 é o disco em z=0 e
D1 é o disco em z=1.
No lateral S, o normal externo a V satisfaz
vec n=vec N.
Pelo Teorema da Divergência:
integral triplaVdiv,vec F,dV=integral duplapartial Vvec Fcdotvec n,dS

Passo 4

O volume de
V dá o termo do lado esquerdo:
Vol(V)=integral0^1pil(1+2z^2r)dz =pil[z+tfrac23z^3r]0^1 =tfrac5pi3

Passo 5

Agora calculamos o fluxo pelos discos fechando V.
Para
D0 ( z=0, normal =-vec k):
vec F=(x,y,0)/(x^2+y^2)^3/2 e
vec Fcdot(-vec k)=0, logo fluxo é zero.

Passo 6

Para
D1 ( z=1, normal +vec k):
vec Fcdotvec k=tfrac1(r^2+1)^3/2+1 com
r^2=x^2+y^2.
Em coordenadas polares:
I1=2piintegral0^raiz3r(r^2+1)^3/2dr=pi,
I2=2piintegral0^raiz3r,dr=3pi,
o que dá fluxo em
D1 de
4pi.

Passo 7

Finalmente, da divergência:
integral duplaSvec Fcdotvec N,dsigma =integral triplaV1,dV-0-4pi =tfrac5pi3-4pi =-tfrac7pi3

Resposta

-\tfrac{7\pi}{3}

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