(b)
, onde
e
é a parte de
com
, orientada com a normal unitária
tal que
.
Passo 1
O exercício pede para calcular o fluxo
, onde
e
é a parte da superfície
a hiperbolóide
para
, com normal unitária dirigida para baixo (
).
Conteúdo usado: Teorema da Divergência e cálculo de fluxos em superfícies fechadas.
a hiperbolóide
Conteúdo usado: Teorema da Divergência e cálculo de fluxos em superfícies fechadas.
Passo 2
Vamos decompor
com
e
.
Como para
e
, segue
e
Como para
Passo 3
Definimos a região
, cuja fronteira é
, onde
é o disco em
e
é o disco em
.
No lateral , o normal externo a
satisfaz
.
Pelo Teorema da Divergência:
No lateral
Pelo Teorema da Divergência:
Passo 4
O volume de
dá o termo do lado esquerdo:
Passo 5
Agora calculamos o fluxo pelos discos fechando
.
Para
(
, normal
):
e
, logo fluxo é zero.
Para
Passo 6
Para
(
, normal
):
com
.
Em coordenadas polares:
Em coordenadas polares:
o que dá fluxo em
de
.
Passo 7
Finalmente, da divergência:
Resposta
-\tfrac{7\pi}{3}