Integral por Frações Parciais:
\int \frac{d x}{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}-x}.
Informações dadas e observações iniciais que podemos extrair do enunciado:
\text{Denominador: }x^{3}-x.
O integrando é uma função racional (uma razão de polinômios) e o domínio natural exclui pontos onde o denominador é zero. Vamos usar essa informação adiante. Não resolvo nada aqui — só listei o que o problema dá.

Passo 2

Fatoração do denominador (isso é informação útil para decompor a fração):
x^{3}-x = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).
Logo a integral fica
\int \frac{dx}{x(x-1)(x+1)}.
Observação: os pontos x=0, x=1 e x=-1 são raízes do denominador (pontos onde a função tem singularidade).

Passo 3

Ideia de resolução (explicação didática do método que vamos usar): como o numerador tem grau menor que o denominador (grau 0 < grau 3), podemos escrever a fração parcial como soma de frações simples com denominadores lineares. Ou seja, procuramos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}.
Aqui A,B,C são números reais a determinar. Essa escrita é útil porque integrar \frac{1}{x-a} dá logaritmo — explicarei quando integrar.

Passo 4

Encontrando A, B e C. Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+1) para obter uma identidade polinomial:
1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1).
Uma maneira prática é usar valores de x que anulem termos para resolver rapidamente (método do “cover-up”):
  • Para x=0:
1 = A(0-1)(0+1) = A(-1)(1) = -A \quad\Rightarrow\quad A = -1.
  • Para x=1:
1 = B\cdot 1\cdot(1+1) = 2B \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{1}{2}.
  • Para x=-1:
1 = C\cdot(-1)\cdot(-1-1) = C\cdot(-1)\cdot(-2) = 2C \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac{1}{2}.
Assim:
A=-1,\qquad B=\tfrac{1}{2},\qquad C=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Escrevendo a decomposição encontrada:
\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
Sempre que a fração é soma de termos da forma \dfrac{\text{const}}{x-a}, a integral de cada termo é um logaritmo (porque \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x-a\rvert = \dfrac{1}{x-a}). Vou usar isso agora.

Passo 6

Integramos termo a termo. Começando da igualdade acima:
\int \frac{dx}{x(x-1)(x+1)} = \int\!\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\right)dx.
Integrando cada parcela (lembre: \int \dfrac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert + C):
\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln\lvert x\rvert,
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert,
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos:
-\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert + C.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão logarítmica combinando os termos:
-\ln\lvert x\rvert + \tfrac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert + \tfrac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert = \tfrac{1}{2}\ln\bigl(\lvert x-1\rvert\lvert x+1\rvert\bigr) - \ln\lvert x\rvert.
Como \lvert x-1\rvert\lvert x+1\rvert = \lvert x^{2}-1\rvert, uma forma compacta é
\frac{1}{2}\ln\lvert x^{2}-1\rvert - \ln\lvert x\rvert + C.
Ambas as formas (a somada em três logaritmos ou esta simplificada) estão corretas e equivalentes.

Resposta

\displaystyle -\ln\lvert x\rvert + \tfrac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert + \tfrac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert + C

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