Integral por Frações Parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais que podemos extrair do enunciado:
O integrando é uma função racional (uma razão de polinômios) e o domínio natural exclui pontos onde o denominador é zero. Vamos usar essa informação adiante. Não resolvo nada aqui — só listei o que o problema dá.
Passo 2
Fatoração do denominador (isso é informação útil para decompor a fração):
Logo a integral fica
Observação: os pontos
,
e
são raízes do denominador (pontos onde a função tem singularidade).
Passo 3
Ideia de resolução (explicação didática do método que vamos usar): como o numerador tem grau menor que o denominador (grau
< grau
), podemos escrever a fração parcial como soma de frações simples com denominadores lineares. Ou seja, procuramos constantes
,
,
tais que
Aqui
são números reais a determinar. Essa escrita é útil porque integrar
dá logaritmo — explicarei quando integrar.
Passo 4
Encontrando
,
e
. Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Uma maneira prática é usar valores de
que anulem termos para resolver rapidamente (método do “cover-up”):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim:
Passo 5
Escrevendo a decomposição encontrada:
Sempre que a fração é soma de termos da forma
, a integral de cada termo é um logaritmo (porque
). Vou usar isso agora.
Passo 6
Integramos termo a termo. Começando da igualdade acima:
Integrando cada parcela (lembre:
):
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão logarítmica combinando os termos:
Como
, uma forma compacta é
Ambas as formas (a somada em três logaritmos ou esta simplificada) estão corretas e equivalentes.