(integral indefinida)
\int \operatorname{sen}(\sqrt{t}) d t;

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função \sin(\sqrt{t}), ou seja, calcular
\int \sin(\sqrt{t}) \,dt.
Para resolver vamos usar duas ideias clássicas de cálculo: primeira, a substituição para eliminar a raiz; segunda, a integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{t} \quad\Longrightarrow\quad t = u^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = 2u\,du.
Assim a integral vira
\int \sin(\sqrt{t})\,dt = \int \sin(u)\,(2u\,du) = 2\int u\,\sin(u)\,du.

Passo 3

Agora usamos integração por partes em
\int u\,\sin(u)\,du.
Escolhemos
\begin{cases} v = u,& dv = du,\\\ dw = \sin(u)\,du,& w = -\cos(u). \end{cases}
Pelo fórmula \int v\,dw = v\,w - \int w\,dv, temos
\int u\,\sin(u)\,du = -u\cos(u) - \int\bigl(-\cos(u)\bigr)\,du = -u\cos(u) + \int \cos(u)\,du = -u\cos(u) + \sin(u).

Passo 4

Substituindo de volta em t e lembrando o fator 2, obtemos
2\int u\,\sin(u)\,du = 2\bigl(-u\cos(u) + \sin(u)\bigr) = -2u\cos(u) + 2\sin(u).
Como u=\sqrt{t}, a primitiva fica
-2\sqrt{t}\,\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{t}\bigr) + C.

Resposta

\int \sin(\sqrt{t})\,dt = -2\sqrt{t}\,\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{t}\bigr) + C.

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