A integral
\int_{Q} \frac{49 x-14 y}{1+6 x-y} d x \wedge d y
sobre o quadrilátero Q de vértices (0,0) \quad(2,7) \quad(1,6) \quad(3,13) é
a 35 \ln (6)
b -35 \ln (2)
c -35 \ln (3)
d \frac{33 \ln (6)}{2}
e -\frac{35 \ln (6)}{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{Q}\frac{49x-14y}{1+6x-y}\,dx\wedge dy,
onde Q é o quadrilátero de vértices (0,0), (2,7), (3,13) e (1,6).
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis para transformar Q num quadrado unitário e aproveitar o Jacobiano.

Passo 2

Observamos que Q é um paralelogramo, pois os lados (0,0)\to(2,7) e (1,6)\to(3,13) têm mesma inclinação, assim como os lados (0,0)\to(1,6) e (2,7)\to(3,13).
Parametrizamos por
(x,y) = (0,0) + s\,(2,7) + t\,(1,6) \quad\text{com}\quad (s,t)\in[0,1]^2.
Então
x = 2s + t,\quad y = 7s + 6t,
e o Jacobiano absoluto é
\biggl|\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t}\\\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix}\biggr| = \bigl|\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 7 &6\end{pmatrix}\bigr| = |12-7| =5,
ou seja, dx\,dy = 5\,ds\,dt.

Passo 3

Em função de (s,t), o denominador fica
1+6x-y =1+6(2s+t)-(7s+6t) =1+12s+6t-7s-6t =1+5s,
e o numerador
49x-14y =49(2s+t)-14(7s+6t) =98s+49t-98s-84t =-35\,t.
Logo o integrando simplifica para
\frac{49x-14y}{1+6x-y}\,dx\,dy =\frac{-35\,t}{1+5s}\cdot5\,ds\,dt =-175\,\frac{t}{1+5s}\,ds\,dt.

Passo 4

Agora basta integrar em s e t:
\iint_{Q}\frac{49x-14y}{1+6x-y}\,dx\,dy =-175\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{t}{1+5s}\,ds\,dt.
Podemos separar
\int_{0}^{1}t\,dt = \frac12, \quad \int_{0}^{1}\frac{ds}{1+5s} =\frac{1}{5}\bigl[\ln(1+5s)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{5}\ln6.
Logo
-175\cdot\frac12\cdot\frac{1}{5}\ln6 =-\frac{175}{10}\ln6 =-\frac{35}{2}\ln6.

Resposta

- \tfrac{35}{2}\ln(6), ou seja, alternativa (e).

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