Seja S a superfície obtida pela rotação da curva \alpha(t)=(t, 0,3 t), 1 \leq t \leq 2 em torno do eixo z.
(a) Determine uma parametrização para S , explicitando seu domínio.
(b) S é regular? Justifique.
(c) Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado pede a superfície S obtida ao girar a curva \alpha(t)=(t,0,3t), 1\le t\le2, em torno do eixo z. O conteúdo é superfície de revolução e vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar, analisar a regularidade (independência linear dos vetores tangentes) e calcular a área via integral da norma do produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar S usamos parâmetros (t,\theta) com t\in[1,2] percorrendo a curva original e \theta\in[0,2\pi] o ângulo de revolução. Assim,
\mathbf{X}(t,\theta)=\bigl(t\cos\theta,\;t\sin\theta,\;3t\bigr),
domínio D=[1,2]\times[0,2\pi].

Passo 3

Para verificar regularidade, calculamos
\mathbf{X}_t=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;3), \quad \mathbf{X}_\theta=(-t\sin\theta,\;t\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{X}_t\times\mathbf{X}_\theta =(-3t\cos\theta,\;-3t\sin\theta,\;t),
cuja norma é
\bigl\|\mathbf{X}_t\times\mathbf{X}_\theta\bigr\| =\sqrt{9t^2+t^2} =t\sqrt{10}.
Como t\in[1,2] implica t\sqrt{10}>0, os vetores são linearmente independentes em todo o domínio e S é regular.

Passo 4

A área de S vale
\iint_{D}\bigl\|\mathbf{X}_t\times\mathbf{X}_\theta\bigr\|\,dtd\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}t\sqrt{10}\,dt\,d\theta =\sqrt{10}\,\biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{1}^{2}\!2\pi =\sqrt{10}\cdot\frac{4-1}{2}\cdot2\pi =3\pi\sqrt{10}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{X}(t,\theta)=(t\cos\theta,t\sin\theta,3t), (t,\theta)\in[1,2]\times[0,2\pi].
(b) Sim; pois \|\mathbf{X}_t\times\mathbf{X}_\theta\|=t\sqrt{10}>0 no domínio.
(c) \mathrm{Area}(S)=3\pi\sqrt{10}.

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