Qual o trabalho realizado por uma formiga de tamanho desprezível (foi mal, formiga!), submetida a um campo de forças (2 x+y) \partial_{x}+x \partial_{y}, quando ela percorre, no sentido horário, o trecho da circunferência de raio 16 e centro (0,0) no primeiro quadrante?
a 258 \pi
b 256
c 256 \pi
(d) 252 \sqrt{2} \pi
254

Passo 1

O enunciado dá um campo de forças em \mathbb R^2,
F(x,y)=(2x+y)\,\partial_x + x\,\partial_y,
e pergunta o trabalho quando uma partícula percorre, no sentido horário, o arco da circunferência de raio 16 e centro (0,0) no primeiro quadrante.
Conteúdo: cálculo de integral de linha (trabalho) de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada.

Passo 2

Para descrever esse arco em sentido horário vamos usar a parametrização
r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(16\cos t,\;16\sin t\bigr),
onde t varia de \tfrac\pi2 até 0. Assim r(\tfrac\pi2)=(0,16) e r(0)=(16,0), percorrendo o primeiro quadrante no sentido horário.

Passo 3

Calculamos r'(t) e o campo em função de t.
r'(t)=\bigl(-16\sin t,\;16\cos t\bigr),
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(2x+y,\;x\bigr)\Bigl|_{(x,y)=(16\cos t,16\sin t)} =\bigl(32\cos t +16\sin t,\;16\cos t\bigr).

Passo 4

O produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) é
(32\cos t+16\sin t)(-16\sin t) \;+\;(16\cos t)(16\cos t)
=-512\cos t\sin t \;-256\sin^2t \;+\;256\cos^2t =256\bigl(\cos2t -\sin2t\bigr),
onde usamos \cos^2t-\sin^2t=\cos2t e 2\sin t\cos t=\sin2t.

Passo 5

O trabalho é
\int_{\tfrac\pi2}^{0}F(r(t))\cdot r'(t)\,dt =256\int_{\tfrac\pi2}^{0}\bigl(\cos2t-\sin2t\bigr)\,dt.
Integrando,
\int\cos2t\,dt=\tfrac12\sin2t,\quad \int(-\sin2t)\,dt=\tfrac12\cos2t,
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256\Bigl[\tfrac12\sin2t+\tfrac12\cos2t\Bigr]_{\tfrac\pi2}^{0} =128\bigl[(\sin0+\cos0)-(\sin\pi+\cos\pi)\bigr]
=128\bigl[(0+1)-(0-1)\bigr] =128\cdot2 =256.

Resposta

256

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