1. A integral \int_{e^{-3}}^{e^{-2}} \frac{1}{x \ln x} d x vale:
    (a) 1
    (b) \frac{2}{3}
    (c) \frac{3}{2}
    (d) \ln \frac{2}{3}
    (e) \ln \frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{e^{-3}}^{e^{-2}} \frac{1}{x\,\ln x}\,dx
e nos dá as alternativas:
(a) 1, (b) \tfrac{2}{3}, (c) \tfrac{3}{2}, (d) \ln\frac{2}{3}, (e) \ln\frac{3}{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{limites: } x=e^{-3}\\ \text{(inferior)} \quad\text{e}\quad x=e^{-2}\\ \text{(superior);}
\text{integrando: } \frac{1}{x\,\ln x}.
Nós vamos transformar a integral para uma forma mais simples e avaliá-la entre os novos limites.

Passo 2

Motivação da técnica usada (substituição): reparar que a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Isso sugere fazer a substituição
u = \ln x.
Explicando devagar: a derivada \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}. Então se definirmos u=\ln x, temos diferencial
du = \frac{1}{x}\,dx.
Isso significa que o fator \dfrac{1}{x}\,dx que aparece na integral pode ser trocado por du, simplificando o integrando.

Passo 3

Aplicando a substituição em uma integral definida: trocar também os limites.
Calcule os novos limites u a partir dos x dados:
u\bigl(e^{-3}\bigr)=\ln\bigl(e^{-3}\bigr)=-3,
u\bigl(e^{-2}\bigr)=\ln\bigl(e^{-2}\bigr)=-2.
Portanto a integral original em termos de u fica
\int_{e^{-3}}^{e^{-2}} \frac{1}{x\,\ln x}\,dx = \int_{u=-3}^{u=-2} \frac{1}{u}\,du,
porque substituímos \ln x por u e \dfrac{1}{x}\,dx por du.

Passo 4

Calcular a primitiva de \dfrac{1}{u}: sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
Explicando o porquê do valor absoluto: a função \ln u está definida só para u>0, mas \dfrac{1}{u} tem primitiva que envolve \ln|u| para cobrir também u<0. No nosso caso os limites u=-3 e u=-2 são negativos, então usamos \ln|u|.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva \ln|u|:
\int_{-3}^{-2} \frac{1}{u}\,du = \Bigl[\ln|u|\Bigr]_{-3}^{-2} = \ln\bigl|-2\bigr| - \ln\bigl|-3\bigr|.
Como |-2|=2 e |-3|=3, temos
\ln 2 - \ln 3 = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right),
usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right).

Resposta

(d) \displaystyle \ln\frac{2}{3}

Exercícios relacionados