3.7 Se a integral integralA^B F cdot d l for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícula de A até B, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
F=2 x y ax+(x^2-z^2) ay-3 x z^2 az
sobre uma partícula que se desloca de A(0,0,0) até B(2,1,3) ao longo:
do segmento (0,0,0) (0,1,0) (2,1,0) (2,1,3)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular o trabalho
integralA^B Fcdot dl
onde
F=2xy,ax+(x^2 - z^2),ay - 3xz^2,az,
e o caminho é o poligoninho
(0,0,0);to;(0,1,0);to;(2,1,0);to;(2,1,3)
A matéria aqui é integral de linha de campos vetoriais (trabalho). Vamos parametrizar cada trecho, calcular dr, fazer o produto escalar Fcdot dr e integrar.

Passo 2

Lembra que, se r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para tin[a,b], então
dr=r'(t),dt, integralCFcdot dr =integrala^bl(P,x'(t)+Q,y'(t)+R,z'(t)r),dt,
onde P,Q,R são as componentes de F. Tranquilo? Agora bora trecho a trecho.

Passo 3

Trecho 1: (0,0,0)to(0,1,0). Parametrização
r(t)=(0,t,0), tin[0,1]
Logo
r'(t)=(0,1,0), F(0,t,0)=(0,0,0),
então
Fcdotr'(t)=0 Longrightarrow integral0^1 0,dt=0

Passo 4

Trecho 2: (0,1,0)to(2,1,0). Parametrização
r(t)=(2t,1,0), tin[0,1],
Logo
r'(t)=(2,0,0), F(2t,1,0)=(4t,4t^2,0)
Fcdotr'(t) =(4t,4t^2,0)cdot(2,0,0) =8t,
integral0^1 8t,dt =4

Passo 5

Trecho 3: (2,1,0)to(2,1,3). Parametrização
r(t)=(2,1,3t), tin[0,1],
Logo
r'(t)=(0,0,3), F(2,1,3t)=(4,;4-9t^2,;-54t^2)
Então
Fcdotr'(t) =(4,4-9t^2,-54t^2)cdot(0,0,3) =-54t^2cdot3 =-162t^2,
integral0^1 -162t^2,dt =-54

Passo 6

Somando os três resultados:
0 + 4 + (-54) = -50

Resposta

O trabalho total ao longo do caminho é -50.

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