\mathcal{L}\left\{t^{3} e^{-t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,t^{3}e^{-t}. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace e a propriedade que envolve integrais de potências vezes exponenciais (fórmula do tipo gamma). Vamos usar a definição

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\} =\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-(s+1)t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos a integral como a forma geral
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}\,dt=\frac{n!}{a^{\,n+1}},
válida para \,n\ge0 inteiro e \Re(a)>0. Aqui n=3 e a=s+1.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=3 e a=s+1, temos
\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-(s+1)t}\,dt=\frac{3!}{(s+1)^{4}} =\frac{6}{(s+1)^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\}=\frac{6}{(s+1)^{4}}.

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