\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sen}(t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t^2\sin(t). Estamos no tema de Transformada de Laplace e vamos usar a propriedade que relaciona potências de t com derivadas em s.

Passo 2

Para função f(t) suficientemente bem comportada vale a fórmula
\mathcal{L}\{t^n f(t)\}(s) = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr].

Passo 3

Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(t)\}(s) = \frac{1}{s^2+1}.
Logo, defina
F(s) = \frac{1}{s^2+1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=2, obtemos
\mathcal{L}\{t^2\sin(t)\}(s) = \frac{d^2}{ds^2}F(s).
Derivando em cadeia e simplificando dá
F'(s) = -\frac{2s}{(s^2+1)^2},
F''(s) = \frac{2(3s^2-1)}{(s^2+1)^3}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^2\sin(t)\}(s) = \frac{2\bigl(3s^2 - 1\bigr)}{(s^2+1)^3}.

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