integral(sen(x)cos ^2(x)+2x^7) d x

Passo 1

Temos a integral
integrall(sin(x)cos^2(x) + 2x^7r),dx
O conteúdo envolvido é primitivação de funções trigonométricas e de potências. Vamos usar reconhecimento de derivadas conhecidas e a regra da potência para integrais.

Passo 2

Vamos analisar a primeira parcela
integral sin(x)cos^2(x),dx
Repare que a derivada de sec(x) = 1/cos(x) é
ddxl(sec(x)r) = sec(x)tan(x) = 1cos(x)cdotsin(x)cos(x) = sin(x)cos^2(x)
Portanto
integral sin(x)cos^2(x),dx = sec(x) + C1

Passo 3

Agora a segunda parcela
integral 2x^7,dx = 2integral x^-7,dx
Usamos a regra da potência para integrais: se integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C (para nneq -1). Aqui n=-7, logo
2integral x^-7,dx = 2cdotx^-6-6 = -26,x^-6 = -13x^-6 + C2

Passo 4

Somando as duas partes obtidas e agrupando a constante geral C:
integrall(sin(x)cos^2(x) + 2x^7r),dx = sec(x) - 13x^-6 + C

Resposta

sec(x) - tfrac13x^6 + C

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