Usando mudança de variáveis, calcular
e
definidos por :
e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x{2}+y{2}+z^{2} \leq 1\right});
Passo 1
Temos a integral tripla
, com
e
. O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas esféricas, e vamos precisar usar a transformação
e o jacobiano
.
Passo 2
Nossa transformação é
com
,
,
. A integral vira
Passo 3
Reunindo as potências de
e as funções de
e
, o integrando fica
Logo a integral separa em três partes:
Passo 4
Agora calculamos cada parte.
Para
, fazemos
, então
Para
, com
,
Passo 5
Multiplicando tudo, fica:
Passo 6
Portanto, o valor da integral é
.