Usando mudança de variáveis, calcular iiintA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por :
f(x, y, z)=x y z e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x{2}+y{2}+z^{2} \leq 1\right});

Passo 1

Temos a integral tripla integral triplaA f(x,y,z),dx,dy,dz, com
A=(x,y,z)inR^3:;x>=0,;y>=0,;z>=0,;x^2+y^2+z^2<=1
e f(x,y,z)=xyz. O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas esféricas, e vamos precisar usar a transformação (x,y,z)to(r,varphi,theta) e o jacobiano r^2sinvarphi.

Passo 2

Nossa transformação é
x=rsinvarphicostheta, y=rsinvarphisintheta, z=rcosvarphi,
com rin[0,1], varphiin[0,tfracpi2], thetain[0,tfracpi2]. A integral vira
integraltheta=0^pi/2integralvarphi=0^pi/2integralr=0^1 (rsinvarphicostheta)(rsinvarphisintheta)(rcosvarphi),r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Reunindo as potências de r e as funções de varphi e theta, o integrando fica
r^5sin^3varphicosvarphisinthetacostheta
Logo a integral separa em três partes:
integral0^1r^5,dr;cdot;integral0^pi/2sin^3varphicosvarphi,dvarphi;cdot;integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta

Passo 4

Agora calculamos cada parte.
integral0^1r^5,dr=16
Para varphi, fazemos u=sinvarphi, então
integral0^pi/2sin^3varphicosvarphi,dvarphi=integral0^1u^3,du=14
Para theta, com u=sintheta,
integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta=integral0^1u,du=12

Passo 5

Multiplicando tudo, fica:
16cdot14cdot12=148

Passo 6

Portanto, o valor da integral é 1/48.

Resposta

148

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