Usando mudança de variáveis, calcular
e
definidos por :
e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x{2}+y{2}+z^{2} \leq 4\right});
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o integral triplo de f(x,y,z)=(x2+y2+z2)\alpha sobre a regi
123o A dada por 1\le x2+y2+z^2\le4. O conte
186do envolvido
169 coordenadas esfericas e a mudan
186a de vari
161veis com o jacobiano r^2\sin\phi.
123o A dada por 1\le x2+y2+z^2\le4. O conte
186do envolvido
169 coordenadas esfericas e a mudan
186a de vari
161veis com o jacobiano r^2\sin\phi.
Passo 2
Para aproveitar a simetria esferica, fazemos a mudan
186a \emph{esfericas}: x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi, com r\in[1,2], \theta\in[0,2\pi], \phi\in[0,\pi]. O jacobiano
169 r^2\sin\phi.
186a \emph{esfericas}: x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi, com r\in[1,2], \theta\in[0,2\pi], \phi\in[0,\pi]. O jacobiano
169 r^2\sin\phi.
Passo 3
Substituindo no integral temos integrando r^{2\alpha} (que
169 f em coordenadas esfericas) multiplicado por r^2\sin\phi do jacobiano. Assim,
169 f em coordenadas esfericas) multiplicado por r^2\sin\phi do jacobiano. Assim,
Passo 4
Podemos separar a integral em parte angular e radial. A parte angular
169
169
Passo 5
Ficando ent
161o a integral radial
161o a integral radial
Passo 6
Para essa integral usamos a f
143o de pot
162ncia:
143o de pot
162ncia:
Passo 7
e avaliamos de 1 a 2, obtendo