Usando mudança de variáveis, calcular iiintA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por :
f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^alpha e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x{2}+y{2}+z^{2} \leq 4\right});

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o integral triplo de f(x,y,z)=(x2+y2+z2)\alpha sobre a regi
123o A dada por 1\le x2+y2+z^2\le4. O conte
186do envolvido
169 coordenadas esfericas e a mudan
186a de vari
161veis com o jacobiano r^2\sin\phi.

Passo 2

Para aproveitar a simetria esferica, fazemos a mudan
186a \emph{esfericas}: x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi, com r\in[1,2], \theta\in[0,2\pi], \phi\in[0,\pi]. O jacobiano
169 r^2\sin\phi.

Passo 3

Substituindo no integral temos integrando r^{2\alpha} (que
169 f em coordenadas esfericas) multiplicado por r^2\sin\phi do jacobiano. Assim,
integral triplaA f,dx,dy,dz =integralr=1^2integraltheta=0^2piintegralphi=0^pir^2alpha,r^2sinphi,dphi,dtheta,dr

Passo 4

Podemos separar a integral em parte angular e radial. A parte angular
169
integraltheta=0^2pidthetaintegralphi=0^pisinphi,dphi =2picdot2=4pi

Passo 5

Ficando ent
161o a integral radial
4piintegral1^2r^2alpha+2,dr

Passo 6

Para essa integral usamos a f
143o de pot
162ncia:
integral r^2alpha+2dr=r^2alpha+32alpha+3

Passo 7

e avaliamos de 1 a 2, obtendo
r^2alpha+32alpha+3g|1^2 =2^2alpha+3-12alpha+3

Resposta

integral triplaAf(x,y,z),dx,dy,dz =4pi2alpha+3l(2^2alpha+3-1r)

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