integral tan x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral tan x , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a função tangente e aplicar uma técnica de substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser expressa como a razão entre o seno e o cosseno. Ou seja:
tan x = sin xcos x
Então, podemos reescrever a integral assim:
integral tan x , dx = integral sin xcos x , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar:
u = cos x
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin x Rightarrow du = -sin x , dx
Isso significa que:
-sin x , dx = du Rightarrow sin x , dx = -du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sin xcos x , dx = integral -duu = -integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u, então:
-integral 1u , du = -ln |u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo u = cos x:
-ln |cos x| + C
Outra maneira de escrever isso, usando a função secante, é:
ln |sec x| + C
Pois sec x = 1cos x, e ln |sec x| = -ln |cos x|.

Resposta

A integral de tan x é:
integral tan x , dx = -ln |cos x| + C ou ln |sec x| + C

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