Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a função tangente e aplicar uma técnica de substituição simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser expressa como a razão entre o seno e o cosseno. Ou seja:
Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Outra maneira de escrever isso, usando a função secante, é:
Pois
, e
.
Resposta
A integral de
é: