1. integral e^theta d thetaa+b e^theta=ln |a+b e^theta|b+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^thetaa + b,e^theta,dtheta,
que é uma aplicação direta do método de substituição e do fato de que
integral duu = lnlvert urvert + C

Passo 2

Fazemos a substituição
u = a + b,e^theta
Com isso, ao derivar em relação a theta, obtemos
du = b,e^theta,dtheta Longrightarrow e^theta,dtheta = dub

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral e^thetaa + b,e^theta,dtheta = integral 1u,dub = 1b,integral duu

Passo 4

Sabemos que
integral duu = lnlvert urvert + C
Logo, a integral fica
1b,lnlvert urvert + C

Passo 5

Voltando à variável original theta, substituímos u = a + b,e^theta e obtemos
integral e^thetaa + b,e^theta,dtheta = 1b,lnllvert a + b,e^thetarrvert + C

Resposta

integral e^thetaa + b,e^theta,dtheta = 1b,lnllvert a + b,e^thetarrvert + C

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