Simplifique e faça o estudo de sinal:
x^4-p^4x-p

Passo 1

A questão pede para simplificar a função racional x^4-p^4x-p e depois estudar o sinal do resultado. O conteúdo envolve fatoração de diferença de potências (aqui, diferença de quartas potências) e estudo de sinal de uma expressão algébrica, além de atenção ao domínio ( xneq p).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador usando primeiro a diferença de quadrados: x^4-p^4=(x^2)^2-(p^2)^2=(x^2-p^2)(x^2+p^2). Em seguida, fatoramos mais x^2-p^2 como diferença de quadrados: x^2-p^2=(x-p)(x+p).
Substituindo na fração temos:
x^4-p^4x-p=(x-p)(x+p)(x^2+p^2)x-p
Como xneq p, podemos cancelar o fator x-p e obter a forma simplificada:
f(x)=(x+p)(x^2+p^2), xneq p

Passo 3

Para o estudo de sinal, observamos que x^2+p^2>0 para todo x,p reais (soma de quadrados só zera se x=p=0, mas mesmo assim é não-negativa). Portanto, o sinal de f(x) é o mesmo do fator x+p.
Assim, f(x)<0 quando x+p<0, ou seja x<-p; f(x)=0 em x=-p; e f(x)>0 para x>-p. Mas lembrando que f(x) não está definida em x=p (buraco na curva).

Passo 4

Resumindo num quadro mental:
• Zona x<-p: f(x)<0.
• Em x=-p: f(x)=0.
• Entre -p e p (se -p) ou entre p e -p (se -p>p), temos f(x)>0.
• Zona x> -p: f(x)>0, exceto em x=p, onde f não existe.

Passo 5

Pronto! A função simplificada é (x+p)(x^2+p^2) com domínio xneq p, e o sinal segue o de x+p, zerando em -p e mudando de negativo para positivo ao passar por esse ponto.

Resposta

Simplificação: (x+p)(x^2+p^2),;xneq p Estudo de sinal: f(x)<0 se x<-p; f(x)=0 em x=-p; f(x)>0 se x>-p (com buraco em x=p, onde não está definida).

Exercícios relacionados