Simplifique e faça o estudo de sinal:
Passo 1
A questão pede para simplificar a função racional
e depois estudar o sinal do resultado. O conteúdo envolve fatoração de diferença de potências (aqui, diferença de quartas potências) e estudo de sinal de uma expressão algébrica, além de atenção ao domínio (
).
Passo 2
Vamos fatorar o numerador usando primeiro a diferença de quadrados:
. Em seguida, fatoramos mais
como diferença de quadrados:
.
Substituindo na fração temos:
Substituindo na fração temos:
Como
Passo 3
Para o estudo de sinal, observamos que
para todo
reais (soma de quadrados só zera se
, mas mesmo assim é não-negativa). Portanto, o sinal de
é o mesmo do fator
.
Assim, quando
, ou seja
;
em
; e
para
. Mas lembrando que
não está definida em
(buraco na curva).
Assim,
Passo 4
Resumindo num quadro mental:
• Zona :
.
• Em :
.
• Entre e
(se
) ou entre
e
(se
), temos
.
• Zona :
, exceto em
, onde
não existe.
• Zona
• Em
• Entre
• Zona
Passo 5
Pronto! A função simplificada é
com domínio
, e o sinal segue o de
, zerando em
e mudando de negativo para positivo ao passar por esse ponto.
Resposta
Simplificação:
Estudo de sinal:
se
;
em
;
se
(com buraco em
, onde não está definida).