integral 5 x4 x^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5x4x^2+9 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral cuja derivada também apareça na expressão. Olha só o denominador: 4x^2 + 9. Se a gente derivar isso em relação a x, a gente tem:
ddx(4x^2 + 9) = 8x
Note que no numerador temos 5x, que é parecido com a derivada que acabamos de encontrar. Isso é perfeito para a substituição!

Passo 3

Vamos fazer a substituição então. Seja:
u = 4x^2 + 9
Agora, derivamos u em relação a x:
dudx = 8x Rightarrow du = 8x , dx
Mas na nossa integral temos 5x , dx, então precisamos ajustar isso. Vamos isolar x , dx:
x , dx = du8
Multiplicando ambos os lados por 5:
5x , dx = 58 du

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral 5x4x^2+9 , dx = integral 58 duu = 58 integral duu

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u, então:
58 integral duu = 58 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
58 ln|4x^2 + 9| + C

Resposta

A integral resolve para:
58 ln(4x^2 + 9) + C

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