Use a integração por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas na finn
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral complexa
usando integração por partes. Como
é toda e analítica, podemos achar uma primitiva
tal que
, e então usar o teorema fundamental do cálculo complexo para obter o valor no intervalo de
a
.
Passo 2
Para achar a primitiva de
, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro deixamos
Em seguida, resolvemos
Juntando os resultados, temos
Passo 3
Agora usamos
e calculamos nos extremos:
$$
F(\pi i)=\bigl((\pi i)^{2}-2\pi i+2\bigr)e^{\pi i}=(-\pi^{2}-2\pi i+2)(-1)=\pi^{2}+2\pi i-2,$$
Passo 4
Finalmente, o valor da integral é
.