Use a integração por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas na finn a+i b.
integral0^pi i z^2 e^z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa integral0^pi i z^2e^z,dz usando integração por partes. Como e^z é toda e analítica, podemos achar uma primitiva F(z) tal que F'(z)=z^2e^z, e então usar o teorema fundamental do cálculo complexo para obter o valor no intervalo de 0 a pi i.

Passo 2

Para achar a primitiva de z^2e^z, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro deixamos
integral z^2e^z,dz = z^2e^z - integral 2z,e^z,dz
Em seguida, resolvemos integral 2z,e^z,dz por partes de novo, com u=2z e dv=e^zdz:
integral 2z,e^z,dz = 2z,e^z - integral 2,e^z,dz = 2z,e^z - 2e^z
Juntando os resultados, temos
integral z^2e^z,dz = z^2e^z - l(2z,e^z - 2e^zr) = (z^2 - 2z + 2)e^z + C

Passo 3

Agora usamos F(z)=(z^2-2z+2)e^z e calculamos nos extremos:
$$
F(\pi i)=\bigl((\pi i)^{2}-2\pi i+2\bigr)e^{\pi i}=(-\pi^{2}-2\pi i+2)(-1)=\pi^{2}+2\pi i-2,$$
F(pi i)=l((pi i)^2-2pi i+2r)e^pi i=(-pi^2-2pi i+2)(-1)=pi^2+2pi i-2,

Passo 4

Finalmente, o valor da integral é F(pi i)-F(0)=pi^2+2pi i-2-2=pi^2-4+2pi i.

Resposta

pi^2-4+2pi i

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