Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Em cada integral, z^1 / 2 é o ramo primer da função raiz quadrada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integralC 14 z^1 / 2 d z, C é o arco de círculo z=e^i t,-pi / 2 <= t <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralC 14z^1/2,dz, onde z^1/2 é o ramo principal da raiz e C é o arco z=e^it, com -tfracpi2<= t<=tfracpi2. Vamos usar o Teorema 5.4.2 (Fundamental do Cálculo Complexo), que diz que se F'(z)=f(z) numa região e C é um caminho nessa região, então integralC f(z),dz=F(z2)-F(z1).

Passo 2

Precisamos achar uma antiderivada de f(z)=tfrac14z^1/2. Como z^-1/2 integra para 2z^1/2, temos
F(z)=integral 14z^-1/2,dz=14cdot2z^1/2=z^1/22

Passo 3

Pelo Teorema 5.4.2,
integralC 14z^1/2,dz = Fl(z(tfracpi2)r)-Fl(z(-tfracpi2)r)

Passo 4

Nos pontos finais: z(tfracpi2)=e^ipi/2=i e z(-tfracpi2)=e^-ipi/2=-i. No ramo principal
i^1/2=e^ipi/4=1+iraiz2,(-i)^1/2=e^-ipi/4=1-iraiz2

Passo 5

Portanto,
F(i)=i^1/22=1+i2raiz2, F(-i)=(-i)^1/22=1-i2raiz2

Passo 6

Fazendo a diferença e simplificando:
F(i)-F(-i)=1+i2raiz2-1-i2raiz2=2i2raiz2=iraiz2=iraiz22

Resposta

\frac{i\sqrt2}{2}

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