Use a fórmula para a derivada de funções inversas para provar que (raizx)^prime=12 raizx.

Passo 1

O enunciado pede para usar a fórmula da derivada de funções inversas para mostrar que a derivada de raizx é 1/(2raizx). O conteúdo principal é o teorema da derivada de inversa e vamos precisar reconhecer raizx como inversa de uma função simples e aplicar a fórmula.

Passo 2

Considere a função f:[0,infty)to[0,infty) definida por
f(x)=x^2
Note que f é estritamente crescente em [0,infty) e, portanto, invertível. A inversa de f é justamente a raiz quadrada: f^-1(x)=raizx.

Passo 3

O teorema da derivada de inversa diz: se y=f^-1(x) e f é diferenciável em y com f'(y)neq0, então
dydx=(f^-1)'(x)=1f'(y)
Aqui temos y=raizx e vamos achar f'(y).

Passo 4

Calcule a derivada de f(x)=x^2:
f'(x)=2x
Substituindo x=y=raizx na fórmula da inversa obtemos:
(raizx)'=1f'(raizx)=12raizx
Isso vale para x>0.

Resposta

$ (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

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