Use a fórmula para a derivada de funções inversas para provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a fórmula da derivada de funções inversas para mostrar que a derivada de
é
. O conteúdo principal é o teorema da derivada de inversa e vamos precisar reconhecer
como inversa de uma função simples e aplicar a fórmula.
Passo 2
Considere a função
definida por
Note que
é estritamente crescente em
e, portanto, invertível. A inversa de
é justamente a raiz quadrada:
.
Passo 3
O teorema da derivada de inversa diz: se
e
é diferenciável em
com
, então
Aqui temos
e vamos achar
.
Passo 4
Calcule a derivada de
:
Substituindo
na fórmula da inversa obtemos:
Isso vale para
.
Resposta
$ (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $