integral0^pi / 3 raiz4 sec x+1 sec x tan x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
integral0^pi/3 raiz4sec x+1,sec xtan x,dx
Esse é um caso clássico de integral por substituição. Vamos usar teoria de derivada de sec x e reconhecer uma parte da integral como du.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 4sec x + 1
Então
d udx = 4sec xtan x
e daí
sec xtan x,dx = 14,dnu

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de x para u. Quando x=0, temos
sec0=1 implies nu=4cdot1+1=5
Quando x=pi/3, temos
sec(pi/3)=2 implies nu=4cdot2+1=9

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^pi/3 raiz4sec x+1,sec xtan x,dx = integral5^9 raiznu;14,dnu = 14 integral5^9 nu^1/2,dnu

Passo 5

Agora basta integrar nu^1/2. Sabemos que
integral nu^1/2,dnu = nu^3/23/2 = 23,nu^3/2
Logo,
14 integral5^9 nu^1/2,dnu = 14cdot23l[nu^3/2r]5^9 = 16l[9^3/2 - 5^3/2r]

Resposta

27-5raiz56

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