Seja
uma constante complexa.
(a) Use o Teorema 5.4.2 para calcular
, sendo
e
valores reais.
(b) Com a parametrização
, explique por que a parte (a) e o Teorema 5.2.1 podem ser para deduzir a fórmula integral (real)
(a) Use o Teorema 5.4.2 para calcular
(b) Com a parametrização
Passo 1
Começando, o enunciado pede duas coisas: (a) calcular
onde
e
são reais, usando o Teorema 5.4.2 (que diz que, se
é analítica e
é uma primitiva, então
). Em (b) devemos parametrizar o caminho por
e usar o Teorema 5.2.1 (integração ao longo de curvas) para mostrar como se obtém a fórmula real
.
Passo 2
Pelo Teorema 5.4.2, como
é analítica, uma primitiva é
. Logo
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = F(x)-F(x_0) = \frac{1}{\alpha}\bigl(e^{\alpha x}-e^{\alpha x_0}\bigr).]
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = F(x)-F(x_0) = \frac{1}{\alpha}\bigl(e^{\alpha x}-e^{\alpha x_0}\bigr).]
Passo 3
Parametrizando por
,
, o Teorema 5.2.1 dá
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = \int_{x_0}{x}e{\alpha t},dt.],
Agora, a parte real desse lado é exatamente , porque
[e^{\alpha t}=e{(a+ib)t}=e{at}\bigl(\cos(bt)+i\sin(bt)\bigr).]
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = \int_{x_0}{x}e{\alpha t},dt.],
Agora, a parte real desse lado é exatamente
[e^{\alpha t}=e{(a+ib)t}=e{at}\bigl(\cos(bt)+i\sin(bt)\bigr).]
Passo 4
Como
, pegamos a parte real:
[\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx),dx = \Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)+C.;]
[\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx),dx = \Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)+C.;]
Passo 5
Para extrair essa parte real, note que
[\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a2+b2}],
então
[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}=\frac{a-ib}{a2+b2},e^{ax}(\cos bx+i\sin bx).]
[\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a2+b2}],
então
[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}=\frac{a-ib}{a2+b2},e^{ax}(\cos bx+i\sin bx).]
Passo 6
Multiplicando e isolando a parte real, obtemos
[\Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)=\frac{e{ax}}{a2+b^2}\bigl(a\cos bx + b\sin bx\bigr).]
[\Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)=\frac{e{ax}}{a2+b^2}\bigl(a\cos bx + b\sin bx\bigr).]
Resposta
(a)
(b)