Seja alpha=a+i b uma constante complexa.
(a) Use o Teorema 5.4.2 para calcular integralx0^x e^alpha z d z, sendo x0 e x valores reais.
(b) Com a parametrização z(t)=t, x0 <= t <= x, explique por que a parte (a) e o Teorema 5.2.1 podem ser para deduzir a fórmula integral (real)
integral e^a x cos b x d x=e^a x(a cos b x+b sen b x)a^2+b^2+C

Passo 1

Começando, o enunciado pede duas coisas: (a) calcular integralx0^xe^alpha z,dz onde alpha=a+ib e x0,x são reais, usando o Teorema 5.4.2 (que diz que, se f é analítica e F é uma primitiva, então integral f(z)dz=F(z)). Em (b) devemos parametrizar o caminho por z(t)=t e usar o Teorema 5.2.1 (integração ao longo de curvas) para mostrar como se obtém a fórmula real integral e^axcos bx,dx=dots+C.

Passo 2

Pelo Teorema 5.4.2, como f(z)=e^alpha z é analítica, uma primitiva é F(z)=tfrac1alphae^alpha z. Logo
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = F(x)-F(x_0) = \frac{1}{\alpha}\bigl(e^{\alpha x}-e^{\alpha x_0}\bigr).]

Passo 3

Parametrizando por z(t)=t, tin[x0,x], o Teorema 5.2.1 dá
[\displaystyle\int_{x_0}{x}e{\alpha z},dz = \int_{x_0}{x}e{\alpha t},dt.],
Agora, a parte real desse lado é exatamente integralx0^xe^atcos(bt),dt, porque
[e^{\alpha t}=e{(a+ib)t}=e{at}\bigl(\cos(bt)+i\sin(bt)\bigr).]

Passo 4

Como integral e^alpha tdt=tfrac1alphae^alpha t+C, pegamos a parte real:
[\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx),dx = \Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)+C.;]

Passo 5

Para extrair essa parte real, note que
[\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a2+b2}],
então
[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}=\frac{a-ib}{a2+b2},e^{ax}(\cos bx+i\sin bx).]

Passo 6

Multiplicando e isolando a parte real, obtemos
[\Re\Bigl(\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}\Bigr)=\frac{e{ax}}{a2+b^2}\bigl(a\cos bx + b\sin bx\bigr).]

Resposta

(a) integralx0^xe^alpha z,dz=1alphal(e^alpha x-e^alpha x0r) (b) integral e^axcos bx,dx=e^axl(acos bx+bsin bxr)a^2+b^2+C

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