integral0^1 e^x d x1+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1 e^x1+e^2x,dx
ou seja, uma integral definida que envolve uma função racional em e^x. O conteúdo aqui é “integração por substituição”.

Passo 2

Vamos usar a substituição
t = e^x,
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dt = e^x,dx,
e como e^x,dx = dt, conseguimos simplificar o numerador da integral.

Passo 3

Com essa mudança, precisamos ajustar os limites: quando x=0, t=e^0=1; quando x=1, t=e^1=e. A integral se transforma em:
integral0^1 e^x1+e^2x,dx = integral1^e 11+t^2,dt

Passo 4

Sabendo que
integral 11+t^2,dt = arctan(t) + C,
vamos avaliar de t=1 até t=e:
arctan(t)|1^e = arctan(e) - arctan(1) = arctan(e) - pi4

Resposta

arctan(e) - pi4

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