Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z+2 i|=1
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z+2 i|=1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo definido por
. O conteúdo principal é integração complexa usando o Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2).
Passo 2
Precisamos primeiro encontrar as singularidades de
. O denominador anula-se se
, ou seja, em
e
. Como o contorno é o círculo de centro
e raio 1, só a singularidade
está dentro de
. A outra,
, fica a distância
e está fora.
Passo 3
Para usar o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), calculamos o resíduo de
em
. Como é um polo simples,
Passo 4
Substituindo
obtemos
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
Resposta
2\pi