Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z+2 i|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC z^2z^2+4,dz onde C é o círculo definido por |z+2i|=1. O conteúdo principal é integração complexa usando o Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2).

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar as singularidades de f(z)=z^2z^2+4. O denominador anula-se se z^2+4=0, ou seja, em z=2i e z=-2i. Como o contorno é o círculo de centro -2i e raio 1, só a singularidade z=-2i está dentro de C. A outra, z=2i, fica a distância |2i+2i|=4>1 e está fora.

Passo 3

Para usar o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), calculamos o resíduo de f(z) em z=-2i. Como é um polo simples,
Resl(f,-2ir)=limzto -2i(z+2i)z^2z^2+4=limzto -2iz^2z-2i

Passo 4

Substituindo z=-2i obtemos
Resl(f,-2ir)=(-2i)^2-2i-2i=4i^2-4i=-4-4i=1i=-i

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
ointCz^2z^2+4,dz=2pi isumRes=2pi icdot(-i)=2pi

Resposta

2\pi

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