Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}-3 z+4 i}{z+2 i} d z ;|z|=3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o contorno ointCz^2-3z+4iz+2i,dz em C:lvert zrvert=3. O conteúdo é aplicação do Teorema de Cauchy (5.5.1) e da fórmula integral de Cauchy para pólo simples (5.5.2).

Passo 2

Identificação da singularidade: o denominador z+2i anula-se em z=-2i, e como |-2i|=2<3, esse pólo simples está dentro de C. Podemos isolar a parte singular.

Passo 3

Decomposição da fração: fazemos divisão de polinômios para escrever
z^2-3z+4iz+2i=h(z)+Rz+2i
com h(z) analítica em lvert zrvert<=3. O quociente é h(z)=z-3-2i e o resíduo é R=-4+10i.

Passo 4

Separação da integral: dividimos
ointCz^2-3z+4iz+2i,dz=ointCh(z),dz+ointCRz+2i,dz
Pelo Teorema 5.5.1 a primeira parte é zero e pelo Teorema 5.5.2 a segunda vale 2pi i,R.

Passo 5

Cálculo final: substituindo R=-4+10i temos
ointCz^2-3z+4iz+2i,dz=2pi i(-4+10i)=-8pi i+20pi i^2=-8pi i-20pi=-20pi-8pi i

Resposta

-20pi -8pi i

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