Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}-3 z+4 i}{z+2 i} d z ;|z|=3
\oint_{C} \frac{z^{2}-3 z+4 i}{z+2 i} d z ;|z|=3
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular o contorno
em
. O conteúdo é aplicação do Teorema de Cauchy (5.5.1) e da fórmula integral de Cauchy para pólo simples (5.5.2).
Passo 2
Identificação da singularidade: o denominador z+2i anula-se em
, e como
, esse pólo simples está dentro de C. Podemos isolar a parte singular.
Passo 3
Decomposição da fração: fazemos divisão de polinômios para escrever
com
analítica em
. O quociente é
e o resíduo é
.
Passo 4
Separação da integral: dividimos
Pelo Teorema 5.5.1 a primeira parte é zero e pelo Teorema 5.5.2 a segunda vale
.
Passo 5
Cálculo final: substituindo
temos