Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z-i|=2
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z-i|=2
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao longo do círculo
dado por
, usando os Teoremas 5.5.1 (teorema de Cauchy sobre integrais de funções analíticas) e 5.5.2 (teorema dos resíduos).
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades da função
. Elas ocorrem onde o denominador se anula, ou seja, em
, de modo que
e
.
Passo 3
Precisamos ver quais polos estão dentro da curva
. A distância de
ao centro
é
, logo
está dentro de
. A distância de
ao centro é
, então
fica fora.
Passo 4
Como temos um único polo simples dentro de
, aplicamos o Teorema 5.5.2 (resíduo):
Calculamos o resíduo em por (\displaystyle\mathop{Res}(f,2i)=\lim_{z\to2i}(z-2i)\frac{z{2}}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{(2i){2}}{2i+2i}=\frac{-4}{4i}=-\tfrac{1}{i}=i.
Calculamos o resíduo em
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
vezes a soma dos resíduos dentro de
. Como há só um resíduo, portanto
Resposta
-2\pi