Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}}{z{2}+4} d z ;
|z-i|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC z^2z^2+4,dz ao longo do círculo C dado por |z-i|=2, usando os Teoremas 5.5.1 (teorema de Cauchy sobre integrais de funções analíticas) e 5.5.2 (teorema dos resíduos).

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades da função f(z)=z^2z^2+4. Elas ocorrem onde o denominador se anula, ou seja, em z^2+4=0, de modo que z=2i e z=-2i.

Passo 3

Precisamos ver quais polos estão dentro da curva |z-i|=2. A distância de 2i ao centro i é |2i-i|=1<2, logo 2i está dentro de C. A distância de -2i ao centro é |-2i-i|=3>2, então -2i fica fora.

Passo 4

Como temos um único polo simples dentro de C, aplicamos o Teorema 5.5.2 (resíduo):
Calculamos o resíduo em z=2i por (\displaystyle\mathop{Res}(f,2i)=\lim_{z\to2i}(z-2i)\frac{z{2}}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{(2i){2}}{2i+2i}=\frac{-4}{4i}=-\tfrac{1}{i}=i.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro de C. Como há só um resíduo, portanto

Resposta

-2\pi

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