Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1+e^{z}}{z} d z ;|z|=1

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral ointC 1+e^zz dz no contorno fechado C:|z|=1. O conteúdo envolve o Teorema Integral de Cauchy (Teorema 5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2).

Passo 2

Decompomos o integrando: 1+e^zz = 1z + e^zz, portanto ointC 1+e^zz dz = ointC 1z dz + ointC e^zz dz.

Passo 3

Para ointC 1z dz aplicamos o Teorema de Cauchy (5.5.1) com f(z)=1 em a=0, obtendo ointC 1z dz = 2pi i.

Passo 4

Para ointC e^zz dz usamos o Teorema dos Resíduos (5.5.2), pois há um polo simples em z=0. O resíduo é Resl(tfrace^zz,0r)=limzto0ze^zz=1, logo ointC e^zz dz = 2pi i.

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais: 2pi i + 2pi i = 4pi i.

Resposta

4pi i

Exercícios relacionados