integral0,5^2(3 x+2)(89 x-49) d x:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0,5^2(3x + 2)(89x - 49) dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar as expressões dentro da integral, simplificar e depois aplicar as regras de integração para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois polinômios dentro da integral:
(3x + 2)(89x - 49)
Multiplicando cada termo:
3x cdot 89x = 249x^2 = 83x^2
3x cdot (-49) = -129x = -43x
2 cdot 89x = 169x
2 cdot (-49) = -89
Agora, somamos todos esses termos:
83x^2 - 43x + 169x - 89

Passo 3

Vamos simplificar os termos semelhantes:
-43x + 169x = -129x + 169x = 49x
Então, a expressão simplificada fica:
83x^2 + 49x - 89

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral com a expressão simplificada:
integral0,5^2 ( 83x^2 + 49x - 89 ) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando cada termo:
integral 83x^2 dx = 83 cdot x^33 = 89x^3
integral 49x dx = 49 cdot x^22 = 29x^2
integral -89 dx = -89x
Portanto, a primitiva é:
89x^3 + 29x^2 - 89x

Passo 6

Agora, vamos avaliar a primitiva nos limites de integração, que são de x = 0,5 a x = 2:
[ 89(2)^3 + 29(2)^2 - 89(2) ] - [ 89(0,5)^3 + 29(0,5)^2 - 89(0,5) ]

Passo 7

Calculando para x = 2:
89(8) + 29(4) - 89(2) = 649 + 89 - 169 = 569
Calculando para x = 0,5:
89(18) + 29(14) - 89(12) = 19 + 118 - 49 = 19 + 118 - 818 = -29

Passo 8

Subtraindo os valores:
569 - (-29) = 569 + 29 = 589

Resposta

O valor da integral é 589.

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