integral1^5 log x d x
usando o método de Simpson e os pontos x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 e x4=5.
(b) Quantos pontos devemos levar em conta na integração por Simpson para que a diferença entre o valor aproximado e o valor exato da integral seja menor do que 10^-3 ? Justifique.

Passo 1

O exercício pede para aproximar a integral integral1^5ln x,dx usando a regra composta de Simpson com os pontos x0=1, x1=2, x2=3, x3=4, x4=5 e depois estimar quantos pontos (i.e. quantos subintervalos) precisamos para que o erro seja menor que 10^-3. Vamos usar teoria de integrais e o erro de Simpson.

Passo 2

Estamos aplicando a regra composta de Simpson. Sejam n=4 subintervalos (sempre par em Simpson) e De. A fórmula de Simpson é
integrala^b f(x),dxapprox De

Passo 3

Calculamos os valores de f(x)=ln x nos pontos: f(1)=0, f(2)=ln2, f(3)=ln3, f(4)=ln4 e f(5)=ln5. Substituindo na soma com De:
S=13l[0+4ln2+2ln3+4ln4+ln5r]

Passo 4

Agora só fazer a conta numérica. Usando ln2approx0.693147, ln3approx1.098612, ln4approx1.386294 e ln5approx1.609437, temos:
S=13(2.772588+2.197224+5.545176+1.609437)=12.1244253approx4.041475

Passo 5

Para a parte (b), lembramos que o erro máximo da regra de Simpson em [a,b] satisfaz
|ES|<=(b-a)^5180,n^4maxxin[a,b]|f^(4)(x)|
Aqui f(x)=ln x tem f^(4)(x)=-6/x^4, logo max|f^(4)|=6/1^4=6.

Passo 6

Substituindo a=1, b=5 e max|f^(4)|=6 no bound:
|ES|<=6cdot(5-1)^5180,n^4=6cdot4^5180,n^4=6144180,n^4approx34.1333n^4
Queremos 34.1333/n^4<10^-3, ou seja n^4>34133.3 e portanto n>13.588.

Passo 7

Como Simpson exige n par, o menor inteiro par maior que 13.588 é n=14. Isso significa 14 subintervalos, logo 14+1=15 pontos.
Resumo dos resultados:

Resposta

A aproximação pela regra de Simpson com 4 subintervalos é
integral1^5ln x,dxapprox4.041475
Para garantir erro abaixo de 10^-3, precisamos de pelo menos n=14 subintervalos (ou seja, 15 pontos).

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