usando o método de Simpson e os pontos
e
.
(b) Quantos pontos devemos levar em conta na integração por Simpson para que a diferença entre o valor aproximado e o valor exato da integral seja menor do que
? Justifique.
(b) Quantos pontos devemos levar em conta na integração por Simpson para que a diferença entre o valor aproximado e o valor exato da integral seja menor do que
Passo 1
O exercício pede para aproximar a integral
usando a regra composta de Simpson com os pontos
e depois estimar quantos pontos (i.e. quantos subintervalos) precisamos para que o erro seja menor que
. Vamos usar teoria de integrais e o erro de Simpson.
Passo 2
Estamos aplicando a regra composta de Simpson. Sejam
subintervalos (sempre par em Simpson) e
. A fórmula de Simpson é
Passo 3
Calculamos os valores de
nos pontos:
,
,
,
e
. Substituindo na soma com
:
Passo 4
Agora só fazer a conta numérica. Usando
,
,
e
, temos:
Passo 5
Para a parte (b), lembramos que o erro máximo da regra de Simpson em
satisfaz
Aqui
tem
, logo
.
Passo 6
Substituindo
,
e
no bound:
Queremos
, ou seja
e portanto
.
Passo 7
Como Simpson exige
par, o menor inteiro par maior que
é
. Isso significa 14 subintervalos, logo
pontos.
Resumo dos resultados:
Resumo dos resultados:
Resposta
A aproximação pela regra de Simpson com 4 subintervalos é
Para garantir erro abaixo de