integral1^2 x raizx-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 x raizx-1 , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração por substituição. Vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz. Vamos chamar u = x - 1. Isso significa que quando x = 1, u = 0, e quando x = 2, u = 1.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx em termos de du. Derivando u = x - 1, temos du = dx. Isso facilita, pois dx = du.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de u:
integral1^2 x raizx-1 , dx = integral0^1 (u + 1) raizu , du
Aqui, substituímos x por u + 1 porque u = x - 1.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
integral0^1 (u + 1) raizu , du = integral0^1 u^1 cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2 , du = integral0^1 u^3/2 + u^1/2 , du
Simplificamos multiplicando os expoentes de u.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Usamos a fórmula integral u^n , du = u^n+1n+1.

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
[ 25 u^5/2 + 23 u^3/2 ]0^1 = ( 25 (1)^5/2 + 23 (1)^3/2 ) - ( 25 (0)^5/2 + 23 (0)^3/2 )
Como qualquer número elevado a potência de 0 é 0, a segunda parte desaparece.

Passo 8

Simplificando:
25 cdot 1 + 23 cdot 1 = 25 + 23 = 615 + 1015 = 1615

Resposta

O valor da integral integral1^2 x raizx-1 , dx é 1615.

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