integral3 / 2^3 d xx raiz4 x^2-9

Passo 1

A integral dada é integral3/2^3dxxraiz4x^2-9. O conteúdo é integração definida que usa substituição trigonométrica para expressões do tipo raiza^2x^2-b^2. Vamos precisar usar a substituição que transforma raiz4x^2-9 em uma função trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição 2x=3sectheta, ou seja, x=tfrac32sectheta. Dessa forma temos:
dx=32secthetatantheta,dtheta
raiz4x^2-9=raiz9sec^2theta-9=3tantheta
E também
xraiz4x^2-9=32secthetacdot3tantheta=92secthetatantheta

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando vira
dxxraiz4x^2-9=tfrac32secthetatantheta,dthetatfrac92secthetatantheta=13,dtheta
Agora precisamos converter os limites:
quando x=3/2, temos sectheta=1 logo theta=0;
quando x=3, temos sectheta=2 logo .

Passo 4

A integral definida em theta fica
integral0^pi/313,dtheta=13l[thetar]0^pi/3=13cdotpi3=pi9

Resposta

pi9

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