Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{4}{z-3 i} d z ;|z|=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ointC4z-3i,dz
onde o contorno C é o círculo |z|=5. Isso cai no conteúdo de integrais de funções meromorfas e vamos usar os Teoremas 5.5.1 (caso analítico) e 5.5.2 (Teorema dos Resíduos).

Passo 2

Precisamos achar as singularidades de f(z)=4/(z-3i). Ela tem um polo simples em z=3i. Como |3i|=3<5, esse polo está dentro do contorno C.

Passo 3

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, calculamos
Resgl(4z-3i,,z=3igr)=limzto3i(z-3i)4z-3i=4

Passo 4

Então, pelo Teorema 5.5.2, a integral é
ointC4z-3i,dz=2pi isumresíduos=2pi icdot4=8pi i í

Resposta

8pi i

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