Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}}{(z-3 i)^{2}} d z ;|z|=5

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de contorno ointCz^2(z-3i)^2,dz onde C é o círculo |z|=5. O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2), que diz que se f é analítica em e dentro de C e a está dentro de C, então
ointC f(z)(z-a)^n+1,dz = 2pi in!f^(n)(a)

Passo 2

Definimos f(z)=z^2 e o ponto a=3i. Note que f é inteira (analítica em todo C) e |3i|=3<5, então a está dentro de C, e podemos aplicar a fórmula de Cauchy para a derivada de ordem n=1.

Passo 3

Como precisamos de f'(a), calculamos f'(z)=2z, logo
f'(3i)=2cdot(3i)=6i

Passo 4

Substituindo na fórmula de Cauchy para a derivada (com n=1):
ointC z^2(z-3i)^2,dz = 2pi i ;f'(3i) = 2pi i cdot 6i = 12pi i^2 = -12pi

Resposta

-12pi

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