Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}}{(z-3 i)^{2}} d z ;|z|=5
\oint_{C} \frac{z^{2}}{(z-3 i)^{2}} d z ;|z|=5
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
. O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2), que diz que se
é analítica em e dentro de
e
está dentro de
, então
Passo 2
Definimos
e o ponto
. Note que
é inteira (analítica em todo
) e
, então
está dentro de
, e podemos aplicar a fórmula de Cauchy para a derivada de ordem
.
Passo 3
Como precisamos de
, calculamos
, logo
Passo 4
Substituindo na fórmula de Cauchy para a derivada (com
):