Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{e^{z}}{z-\pi i} d z ;|z|=4

Passo 1

O problema pede para calcular ointCe^zz-pi i,dz em que C é o círculo |z|=4. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy (fórmula integral), pois temos uma função analítica salvo num polo simples.

Passo 2

Precisamos ver onde está o singular: o denominador z−πi zera em z=pi i, e como |pi i|=pi<4, esse polo está dentro de C. Não há mais singularidades dentro do contorno.

Passo 3

Pela Fórmula Integral de Cauchy, se f(z) é analítica em e dentro de C e a está dentro de C, então ointCf(z)z-a,dz=2pi i,f(a) Aqui, f(z)=e^z e a=pi i. Então
ointCe^zz-pi i,dz = 2pi i,e^pi i

Passo 4

Sabendo que e^pi i=cospi + isinpi=-1, concluímos que o integral é
2pi i,(-1)=-2pi i

Resposta

-2\pi i

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