integralA^B d QT=SB-SA
que declara que a integral de đ Q / Tđ ao longo de um caminho reversível (no espaço de estados termodinâmicos) que leva de um estado A a um estado B é igual à variação da entropia S entre esses estados. Do ponto de vista matemático, podemos reformular esse resultado dizendo que, embora đ Qđ não seja uma diferencial exata (ou seja, sua circulação não é nula em geral), o fator 1 / T faz com que đ Q / Tđ se torne uma diferencial exata, que denotamos por d S. Dessa forma, a entropia termodinâmica seria análoga ao potencial eletrostático ou a uma energia potencial mecânica. Para confirmar esse fato, considere que S descreve a entropia de um fluido e é função apenas da energia interna U e do volume V, isto é, S=S(U, V).

Passo 1

O exercício nos fala da integral
integralA^B de
e propõe mostrar que, embora de não seja uma diferencial exata, a combinação de é, definindo uma função de estado S(U,V).
Conteúdo: termodinâmica (primeira lei, reversibilidade, entropia) e cálculo de diferenciais exatas.
Vamos precisar da primeira lei ( dU=de), da expressão de trabalho reversível ( de) e do conceito de diferencial exata (e comparação de derivadas parciais).

Passo 2

Primeiro, usamos a primeira lei da termodinâmica para processos reversíveis:
dU = de
Daí isolamos de:
de
Como queremos de, dividimos tudo por T:
de

Passo 3

Agora escrevemos a diferencial total de S(U,V) (porque S é função de estado):
dS = l(partial Spartial Ur)V dU + l(partial Spartial Vr)U dV,
Como a integral de de entre A e B SB-SA, identificamos termo a termo:
1. Coeficiente de dU deve ser partial Spartial U|V = 1T.
2. Coeficiente de dV deve ser $\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\Big|_U = \frac P T,. $

Passo 4

Para confirmar que isso realmente define uma diferencial exata, verificamos a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
partialpartial Vl(1Tr)U ;=;partialpartial Ul( P Tr)V,
Se isso vale, então de é mesmo dS e S(U,V) existe de fato como potencial termodinâmico.

Resposta

Identificamos
partial Spartial U|V = 1T e partial Spartial V|U = P T,,
e mostramos que essas derivadas cruzadas coincidem, confirmando que
dS = de
é uma diferencial exata.

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