que declara que a integral de
ao longo de um caminho reversível (no espaço de estados termodinâmicos) que leva de um estado
a um estado
é igual à variação da entropia
entre esses estados. Do ponto de vista matemático, podemos reformular esse resultado dizendo que, embora
não seja uma diferencial exata (ou seja, sua circulação não é nula em geral), o fator
faz com que
se torne uma diferencial exata, que denotamos por
. Dessa forma, a entropia termodinâmica seria análoga ao potencial eletrostático ou a uma energia potencial mecânica. Para confirmar esse fato, considere que
descreve a entropia de um fluido e é função apenas da energia interna
e do volume
, isto é,
.
Passo 1
O exercício nos fala da integral
e propõe mostrar que, embora
Conteúdo: termodinâmica (primeira lei, reversibilidade, entropia) e cálculo de diferenciais exatas.
Vamos precisar da primeira lei (
Passo 2
Primeiro, usamos a primeira lei da termodinâmica para processos reversíveis:
Daí isolamos
Como queremos
, dividimos tudo por
:
Passo 3
Agora escrevemos a diferencial total de
(porque
é função de estado):
Como a integral de
1. Coeficiente de
2. Coeficiente de
Passo 4
Para confirmar que isso realmente define uma diferencial exata, verificamos a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
Se isso vale, então
Resposta
Identificamos
e mostramos que essas derivadas cruzadas coincidem, confirmando que
é uma diferencial exata.