onde é formada pelo arco da parábola de a seguido pelo segmento de reta vertical de a , obtemos como resposta o valor aproximado de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha . Aqui, é um caminho formado por dois trechos: , que é o arco da parábola indo de até , e , que é uma reta vertical de até . Vamos usar o conteúdo de integrais de linha para resolver isso, e precisaremos parametrizar cada trecho do caminho para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com o trecho , que é a parábola de a . Para integrar, precisamos parametrizar essa curva. Vamos usar , onde varia de 0 a 1. Então, .
Agora, para calcular , que representa um pequeno segmento do caminho, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então,
Nossa integral para fica:
Passo 3
Para resolver , vamos usar uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :
Calculando os limites:
Aproximando:
Então, a integral sobre é aproximadamente 4.37.
Passo 4
Agora, vamos para o trecho integralC2 3x , ds = integral2^3 3 cdot 1 , dt = 3 integral2^3 dt = 3(3 - 2) = 3 , que é uma reta vertical de até . Aqui, constante, e varia de 2 a 3. Podemos parametrizar com , onde vai de 2 a 3.
O diferencial de arco nessa reta vertical é simplesmente .
Nossa integral para é:
Passo 5
Finalmente, somamos as integrais dos dois trechos para obter o valor total: