integralC 3 x d s
onde C é formada pelo arco C1 da parábola y=2 x^2 de (0,0) a (1,2) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,2) a (1,3), obtemos como resposta o valor aproximado de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha . Aqui, é um caminho formado por dois trechos: , que é o arco da parábola indo de até , e , que é uma reta vertical de até . Vamos usar o conteúdo de integrais de linha para resolver isso, e precisaremos parametrizar cada trecho do caminho para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com o trecho ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , que é a parábola dxdt = 1 e dydt = 4t de ds = raiz1 + (4t)^2 , dt = raiz1 + 16t^2 , dt a integralC1 3x , ds = integral0^1 3t raiz1 + 16t^2 , dt . Para integrar, precisamos parametrizar essa curva. Vamos usar , onde varia de 0 a 1. Então, .
Agora, para calcular , que representa um pequeno segmento do caminho, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então,
Nossa integral para fica:

Passo 3

Para resolver integral 3t raizu cdot du32t = 332 integral raizu , du , vamos usar uma substituição. Seja 332 cdot 23 u^3/2 = 116 u^3/2 , então 116 (1 + 16t^2)^3/2 |0^1 , ou seja, 116 [(1 + 16(1)^2)^3/2 - (1 + 16(0)^2)^3/2] = 116 (17^3/2 - 1) .
Substituindo na integral:
17^3/2 approx 70.992957 Rightarrow 116(70.992957 - 1) approx 69.99295716 approx 4.37456
Integrando:
Voltando para :
Calculando os limites:
Aproximando:
Então, a integral sobre é aproximadamente 4.37.

Passo 4

Agora, vamos para o trecho integralC2 3x , ds = integral2^3 3 cdot 1 , dt = 3 integral2^3 dt = 3(3 - 2) = 3 , que é uma reta vertical de até . Aqui, constante, e varia de 2 a 3. Podemos parametrizar com , onde vai de 2 a 3.
O diferencial de arco nessa reta vertical é simplesmente .
Nossa integral para é:

Passo 5

Finalmente, somamos as integrais dos dois trechos para obter o valor total:
integralC 3x , ds = integralC1 3x , ds + integralC2 3x , ds approx 4.37 + 3 = 7.37

Resposta

O valor aproximado da integral é 7,37.

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