integralpi3^pi2 sen x sen^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida
integralpi3^pi2sin x,sin^2x,dx
Estamos no conteúdo de integração de potências ímpares de seno e vamos usar a quebra de potência junto com substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos sin^3x como produto de sin x por 1-cos^2x:
sin^3x=sin x,(1-cos^2x)
Assim a integral fica
integralpi3^pi2sin x,(1-cos^2x),dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=cos x, de modo que du=-sin x,dx. Logo:
sin x,dx=-du
E a integral torna-se
integralpi3^pi2sin x,(1-cos^2x),dx=-integralu(pi/3)^u(pi/2)(1-u^2),du

Passo 4

Integramos em u:
-integral(1-u^2),du=-l(u-u^33r)+C=-u+u^33+C
Voltando para x:
F(x)=-cos x+cos^3x3

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
Fl(tfracpi2r)=0, Fl(tfracpi3r)=-12+124=-1124
Portanto a integral vale
Fl(tfracpi2r)-Fl(tfracpi3r)=0-l(-tfrac1124r)=tfrac1124

Resposta

tfrac1124

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