Integrando de 0 a 1 uma série de potências da função
, mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para integrar de 0 a 1 uma série de potências da função
e mostrar que:
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração de séries. Precisaremos entender como manipular séries infinitas e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função
como uma série de potências. Sabemos que a expansão em série de
é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, queremos integrar essa série de 0 a 1:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série seja uniformemente convergente, o que é o caso aqui):
Passo 4
Vamos calcular a integral
:
Passo 5
Substituindo de volta na série, temos:
Note que quando
, o termo é
.
Passo 6
No entanto, o exercício pede a soma a partir de
. Portanto, devemos subtrair o termo
da soma total:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Resposta
Portanto,