Integrando de 0 a 1 uma série de potências da função x e^x, mostre que
sumn=1^infty 1n!(n+2)=12

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para integrar de 0 a 1 uma série de potências da função sumn=1^infty 1n!(n+2)=12 e mostrar que:
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração de séries. Precisaremos entender como manipular séries infinitas e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função e^x = sumn=0^infty x^nn! como uma série de potências. Sabemos que a expansão em série de x e^x = x sumn=0^infty x^nn! = sumn=0^infty x^n+1n! é:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Agora, queremos integrar essa série de 0 a 1:
integral0^1 x e^x , dx = integral0^1 sumn=0^infty x^n+1n! , dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série seja uniformemente convergente, o que é o caso aqui):
sumn=0^infty 1n! integral0^1 x^n+1 , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral integral0^1 x^n+1 , dx = [ x^n+2n+2 ]0^1 = 1n+2 :

Passo 5

Substituindo de volta na série, temos:
sumn=0^infty 1n! cdot 1n+2 = sumn=0^infty 1n!(n+2)
Note que quando , o termo é .

Passo 6

No entanto, o exercício pede a soma a partir de sumn=1^infty 1n!(n+2) = sumn=0^infty 1n!(n+2) - 12 = integral0^1 x e^x , dx - 12 . Portanto, devemos subtrair o termo da soma total:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • [ x e^x - e^x ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1
Aplicando integração por partes:
Então:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
sumn=1^infty 1n!(n+2) = integral0^1 x e^x , dx - 12 = 1 - 12 = 12

Resposta

Portanto,
sumn=1^infty 1n!(n+2) = 12

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