Seja . Calcule fazendo uma mudança para as variáveis que estão relacionadas com através das relações e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre um conjunto no espaço tridimensional. A função que queremos integrar é . Para facilitar essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis para , onde essas novas variáveis estão relacionadas com pelas seguintes equações:
Vamos precisar entender como fazer essa mudança, encontrar o Jacobiano dessa transformação e ajustar os limites de integração conforme as novas variáveis. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos expressar u = x + y + z x + y = u v x = u v w em termos de y = (x + y) - x = u v - u v w = u v (1 - w) . A partir das relações dadas:
z = u - x - y = u - u v w - u v (1 - w) = u - u v w - u v + u v w = u (1 - v)
A partir daí, podemos encontrar:
x = u v w y = u v (1 - w) z = u (1 - v)
E para :
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais de J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w em relação a partial xpartial u = v w, partial xpartial v = u w, partial xpartial w = u v :
partial ypartial u = v (1 - w), partial ypartial v = u (1 - w), partial ypartial w = -u v
Vamos calcular cada elemento:
partial zpartial u = 1 - v, partial zpartial v = -u, partial zpartial w = 0
J = v w & u w & u v v (1 - w) & u (1 - w) & -u v 1 - v & -u & 0
Então, o Jacobiano fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante desse Jacobiano para encontrar o fator de escala na mudança de variáveis. Calculando o determinante:
det(J) = v w cdot ( u (1 - w) cdot 0 - (-u v) cdot (-u) ) - u w cdot ( v (1 - w) cdot 0 - (-u v) cdot (1 - v) ) + u v cdot ( v (1 - w) cdot (-u) - u (1 - w) cdot (1 - v) )
Esse cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas depois de simplificar, encontramos:
|det(J)| = u v
Então, o Jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de 1 <= x <= 2 1 <= x + y <= 3 1 <= x + y + z <= 5 . Originalmente, a região 1 <= u v w <= 2 1 <= u v <= 3 1 <= u <= 5 é definida por:
Em termos de :
Podemos expressar os limites para cada variável:
varia de 1 a 5.
Para um dado , varia de a (já que ).
Para um dado e , varia de a (já que ).
Passo 6
Com tudo isso, podemos reescrever a integral original na nova coordenadas. Lembrando que a função a ser integrada e o Jacobiano precisam ser expressos em termos de integral triplaD 1(x+y)(x+y+z) , dx , dy , dz = integral triplaD' 1(u v)(u) cdot u v , du , dv , dw :
1u^2 v cdot u v = 1u
Simplificando a expressão:
integralu=1^5 integralv=1u^3u integralw=1u v^2u v 1u , dw , dv , du
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral1u v^2u v 1u , dw = 1u ( 2u v - 1u v ) = 1u cdot 1u v = 1u^2 v :
integralu=1^5 integralv=1u^3u 1u^2 v , dv , du
Agora, a integral fica:
integral1u^3u 1u^2 v , dv = 1u^2 ( ln v ) |1u^3u = 1u^2 ( ln(3u) - ln(1u) ) = 1u^2 ln 3
Integramos em relação a integral1^5 ln 3u^2 , du = ln 3 cdot ( -1u ) |1^5 = ln 3 cdot ( -15 + 1 ) = ln 3 cdot 45 = 45 ln 3 :