Utilizando as propriedades das integrais, verifique as desigualdades sem calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar duas desigualdades envolvendo uma integral da função seno, sem a necessidade de calcular essa integral de verdade. A matéria envolvida aqui são as propriedades das integrais e o comportamento da função seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta no intervalo
e aplicar algumas propriedades básicas das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função seno no intervalo dado. Sabemos que a função
é crescente nesse intervalo porque a derivada de
é
, que é positiva em
. Isso significa que o menor valor da função
nesse intervalo é
e o maior valor é
.
Passo 3
Vamos calcular esses valores:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade das integrais que diz que se
em um intervalo
, então:
Aplicando isso à nossa função
, temos:
Passo 5
Vamos calcular o comprimento do intervalo:
Substituindo de volta na desigualdade:
Passo 6
Simplificando as multiplicações:
Mas olha só, no enunciado a primeira parte da desigualdade é
, então parece que precisamos ajustar nosso cálculo.
Passo 7
Revisando o passo anterior, percebemos que a função
é realmente crescente, então a menor área sob a curva seria
e a maior área seria
. Portanto, a desigualdade correta é:
Isso significa que houve um erro no enunciado original, onde o limite inferior deveria ser
e não
.
Resposta
A desigualdade correta é
.