Utilizando as propriedades das integrais, verifique as desigualdades sem calcular as integrais: pi6 <= integralpi6^pi3 sen x d x <= raiz3 pi12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar duas desigualdades envolvendo uma integral da função seno, sem a necessidade de calcular essa integral de verdade. A matéria envolvida aqui são as propriedades das integrais e o comportamento da função seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta no intervalo e aplicar algumas propriedades básicas das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função seno no intervalo dado. Sabemos que a função é crescente nesse intervalo porque a derivada de é , que é positiva em . Isso significa que o menor valor da função nesse intervalo é e o maior valor é .

Passo 3

Vamos calcular esses valores:
sin(pi6) = 12 e sin(pi3) = raiz32
Então, temos:
12 <= sin x <= raiz32 para todo x in [pi6, pi3]

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade das integrais que diz que se m(b - a) <= integrala^b f(x) , dx <= M(b - a) em um intervalo 12 (pi3 - pi6) <= integralpi6^pi3 sin x , dx <= raiz32 (pi3 - pi6) , então:
Aplicando isso à nossa função , temos:

Passo 5

Vamos calcular o comprimento do intervalo:
pi3 - pi6 = pi6
Substituindo de volta na desigualdade:
12 cdot pi6 <= integralpi6^pi3 sin x , dx <= raiz32 cdot pi6

Passo 6

Simplificando as multiplicações:
pi12 <= integralpi6^pi3 sin x , dx <= raiz3 pi12
Mas olha só, no enunciado a primeira parte da desigualdade é , então parece que precisamos ajustar nosso cálculo.

Passo 7

Revisando o passo anterior, percebemos que a função pi12 <= integralpi6^pi3 sin x , dx <= raiz3 pi12 é realmente crescente, então a menor área sob a curva seria e a maior área seria . Portanto, a desigualdade correta é:
Isso significa que houve um erro no enunciado original, onde o limite inferior deveria ser e não .

Resposta

A desigualdade correta é .

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