Integrar a equação diferencial:
y^prime prime=1x tg(y^prime)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
y'' = 1x tan(y')
Aqui, a matéria envolvida são equações diferenciais, especificamente de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições que nos ajudem a simplificar a equação e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar u = y' . Isso significa que a segunda derivada de y , que é y'' , fica igual a u' (a derivada de u em relação a x ). Então, nossa equação fica:
u' = 1x tan(u)

Passo 3

Agora, essa nova equação é uma equação diferencial de primeira ordem para u . Podemos reescrevê-la de uma forma que facilite a integração:
dutan(u) = 1x dx
Isso é possível porque estamos separando as variáveis u e x dos dois lados da equação.

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados. A integral de 1tan(u) em relação a u é:
integral 1tan(u) du = integral cot(u) du = ln|sin(u)| + C
E a integral de 1x em relação a x é:
integral 1x dx = ln|x| + C

Passo 5

Igualando as integrais, temos:
ln|sin(u)| = ln|x| + C
Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
sin(u) = Cx
Onde C é uma constante de integração.

Passo 6

Lembrando que u = y' , substituímos de volta na equação:
sin(y') = Cx
Para encontrar y' , usamos a função inversa do seno:
y' = arcsin(Cx)

Passo 7

Finalmente, para encontrar y , integramos y' em relação a x :
y = integral arcsin(Cx) dx + D
Onde D é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = integral arcsin(Cx) , dx + D
Onde C e D são constantes de integração.

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