Integrar a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, a matéria envolvida são equações diferenciais, especificamente de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições que nos ajudem a simplificar a equação e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar
. Isso significa que a segunda derivada de
, que é
, fica igual a
(a derivada de
em relação a
). Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, essa nova equação é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Podemos reescrevê-la de uma forma que facilite a integração:
Isso é possível porque estamos separando as variáveis
e
dos dois lados da equação.
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Para encontrar
, usamos a função inversa do seno:
Passo 7
Finalmente, para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.