verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
b)
, definida por
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
, definida no intervalo
, é Lipschitziana. Isso faz parte da matéria de Análise de Funções, mais especificamente sobre propriedades de funções contínuas e condições de Lipschitz. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função Lipschitziana e verificar se nossa função atende a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser Lipschitziana. Uma função
é Lipschitziana em um intervalo se existe uma constante
tal que, para quaisquer dois pontos
e
nesse intervalo, a diferença entre
e
é no máximo
vezes a diferença entre
e
. Matematicamente, isso é escrito como:
Essa condição basicamente diz que a função não “cresce” mais rápido que uma reta de inclinação
.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função
. Para verificar se ela é Lipschitziana, precisamos ver se conseguimos encontrar uma constante
que satisfaça a condição acima para todos os
em
.
Passo 4
Vamos usar o conceito de derivada para ajudar nessa análise. Se a derivada de
for limitada no intervalo, então a função é Lipschitziana, com
sendo o máximo valor absoluto da derivada.
Calculando a derivada de
:
Passo 5
Observamos que
. O valor absoluto da derivada é
. Agora, precisamos verificar se existe um número máximo para
no intervalo
.
Passo 6
Note que, conforme
se aproxima de 0,
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Isso significa que não há um limite superior para
nesse intervalo.
Passo 7
Como não existe um valor máximo para
em
, não podemos encontrar uma constante
que satisfaça a condição de Lipschitz para toda a função nesse intervalo.
Resposta
A função
definida em
não é Lipschitziana.