Seja X subset R compacto e f: X R uma função contínua. Mostre que f é uniformemente contínua.

Passo 1

Estamos mostrando que se X \subset \mathbb{R} é compacto e f:X\to\mathbb{R} é contínua, então f é uniformemente contínua. Vamos usar a definição de continuidade pontual, a cobertura aberta dada por cada ponto e a compacidade de X para obter um \delta que funcione para todo par de pontos em X.

Passo 2

Seja \varepsilon>0. Como f é contínua em cada x\in X, para cada x existe \delta_x>0 tal que sempre que |y-x|<\delta_x temos |f(y)-f(x)|<\varepsilon/2. Então consideramos a coleção de intervalos abertos
[(x-\delta_x,,x+\delta_x)]_{x\in X},
que é uma cobertura aberta de X.

Passo 3

Pela compacidade de X, existe uma subcobertura finita, digamos
[(x_i-\delta_{x_i},,x_i+\delta_{x_i})]{i=1}^n,
ou seja,
X\subset \bigcup
{i=1}^n (x_i-\delta_{x_i},,x_i+\delta_{x_i}).

Passo 4

Definimos
de

Passo 5

Note que \delta>0, pois é mínimo de um conjunto finito de positivos.
Agora, para quaisquer u,v\in X com |u-v|<\delta, existe algum i tal que u pertence a (x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}). Assim
|u - x_i|<\delta_{x_i} \quade como|u-v|<\delta\le\delta_{x_i},temos|v-x_i|<\delta_{x_i}.
Pela escolha de \delta_{x_i} garantimos
|f(u)-f(x_i)|<\varepsilon/2 \quade\quad |f(v)-f(x_i)|<\varepsilon/2.

Passo 6

Pela desigualdade triangular segue
|f(u)-f(v)|\le |f(u)-f(x_i)| + |f(x_i)-f(v)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon.
Isto mostra que sempre que |u-v|<\delta temos |f(u)-f(v)|<\varepsilon, ou seja, f é uniformemente contínua em X.

Resposta

f é uniformemente contínua em X.

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