Integrar as equações diferenciais
d yd x=2 x^2+4 x y+y^2x^2 ;

Passo 1

Temos a equação diferencial dydx=2x^2+4xy+y^2x^2. Note que o numerador e o denominador são homogêneos de mesmo grau, então podemos usar a substituição y=vx para transformar em equação separável.

Passo 2

Fazendo y=vx, temos dydx=v+xdvdx. Substituindo na original:
v+xdvdx=2x^2+4x(vx)+(vx)^2x^2=2+4v+v^2
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xdvdx=v^2+3v+2

Passo 3

Separamos as variáveis:
dv(v+1)(v+2)=dxx
Fazendo frações parciais,
1(v+1)(v+2)=1v+1-1v+2,
então
integrall(1v+1-1v+2r)dv=integraldxxRightarrowlnl|v+1v+2r|=ln|x|+C

Passo 4

Voltando a y=vx, substituímos v=y/x e obtemos
lnl|yx+1yx+2r|=ln|x|+CRightarrowlnl|y+xy+2xr|=ln|x|+C
Exponenciando e reorganizando chega-se à forma implícita
y+xy+2x=Kx,
onde K=e^C é constante de integração.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por y+xy+2x=Kx, com constante arbitrária K. Equivalentemente, isolando y: y=x(2Kx-1)1-Kx.

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