Integrar as equações diferenciais
2(raizx y-x) y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2l(raizx,y-xr),dydx + y = 0
O conteúdo é resolução de equação de variáveis separáveis via uma mudança de variável que torne a equação separável. Vamos usar a substituição
v = raizyx,
pois aparece raizx,y.

Passo 2

Expressamos y e dy/dx em função de v e x. Como y = v^2 x, temos
dydx = v^2 + 2v,x,dvdx
Além disso,
raizx,y = raizxcdot (v^2 x) = v,x
Logo raizx,y-x = x,(v-1).

Passo 3

Substituindo na equação original
2l(v-1r)xl(v^2 + 2v,x,tfracdvdxr) + v^2 x = 0
Dividindo tudo por x e reorganizando, obtemos
2(v-1)v^2 + 4v(v-1),x,dvdx + v^2 = 0 ;Longrightarrow; 4v(v-1),x,dvdx = -,v^2,(2v-1)

Passo 4

Separamos variáveis:
dvdx = -v^2(2v-1)4v(v-1),x = -v(2v-1)4(v-1);1x
Isso dá
4(v-1)v(2v-1),dv = -dxx

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais:
v-1v(2v-1) = 1v - 12v-1,
então
integral 4(v-1)v(2v-1),dv = integral l(4v - 42v-1r),dv = 4ln|v| - 2ln|2v-1| + C1
À direita,
-integraldxx = -ln|x| + C2.
Igualando e juntando constantes,
4ln|v| - 2ln|2v-1| = -ln|x| + C

Passo 6

Simplificamos exponenciando:
ln!l(v^4(2v-1)^2r) = -ln|x| + C ;Longrightarrow; v^4(2v-1)^2;x = K,
com K=e^C constante arbitrária.

Passo 7

Voltando à variável original, v^2 = y/x implica v^4 = (y/x)^2. Assim
x,(y/x)^2(2v-1)^2 = K ;Longrightarrow; y^2x,(2raizy/x - 1)^2 = K
Multiplicando numerador e denominador por x, chega-se à forma mais simples
y^2l(2raizy-raizxr)^2 = C (C constante)

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
y^2l(2raizy-raizxr)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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