Integrar as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é resolução de equação de variáveis separáveis via uma mudança de variável que torne a equação separável. Vamos usar a substituição
pois aparece
.
Passo 2
Expressamos
e
em função de
e
. Como
, temos
Além disso,
Logo
.
Passo 3
Substituindo na equação original
Dividindo tudo por
e reorganizando, obtemos
Passo 4
Separamos variáveis:
Isso dá
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais:
então
À direita,
.
Igualando e juntando constantes,
Igualando e juntando constantes,
Passo 6
Simplificamos exponenciando:
com
constante arbitrária.
Passo 7
Voltando à variável original,
implica
. Assim
Multiplicando numerador e denominador por
, chega-se à forma mais simples
Resposta
A solução geral, de forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.