Usando integral dupla calcule a área da região delimitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2.
Escolha uma opção:
a. 14
b. 3
c. -13
d. 13
e. Nenhuma das Respostas

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x² e x = y² usando integral dupla. Vamos usar como conteúdo a ideia de área por integral dupla (ou integral iterada) e precisar determinar a região de integração correta.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, resolvemos o sistema y = x² e x = y². Substituindo y = x² em x = y², temos x = (x²)² = x⁴, ou seja x⁴ - x = 0 ⇒ x(x³ - 1) = 0. Assim os pontos de interseção são x = 0 e x = 1, gerando os pares (0,0) e (1,1).

Passo 3

Observando o primeiro quadrante e o intervalo 0 ≤ x ≤ 1, a curva y = x² fica abaixo e a curva x = y² ⇒ y = √x fica acima. Portanto, para cada x entre 0 e 1, y varia de y = x² até y = √x.

Passo 4

Como a área A da região é dada por ∫∫ₙ dA, numa forma iterada em x e y ficamos com a integral simples:

Passo 5

A = integralx=0^1l(raizx - x^2r),dx

Passo 6

Agora calculamos a integral. Separamos em duas partes:

Passo 7

integral0^1x^1/2,dx = [x^3/23/2]0^1 = 23,

Passo 8

integral0^1x^2,dx = [x^33]0^1 = 13

Passo 9

Subtraindo a segunda da primeira, obtemos A = 2/3 - 1/3 = 1/3.

Resposta

13

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