Usando integral dupla calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
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Escolha uma opção:
a.
b. 3
c.
d.
e. Nenhuma das Respostas
a.
b. 3
c.
d.
e. Nenhuma das Respostas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x² e x = y² usando integral dupla. Vamos usar como conteúdo a ideia de área por integral dupla (ou integral iterada) e precisar determinar a região de integração correta.
Passo 2
Para achar onde as curvas se cruzam, resolvemos o sistema y = x² e x = y². Substituindo y = x² em x = y², temos x = (x²)² = x⁴, ou seja x⁴ - x = 0 ⇒ x(x³ - 1) = 0. Assim os pontos de interseção são x = 0 e x = 1, gerando os pares (0,0) e (1,1).
Passo 3
Observando o primeiro quadrante e o intervalo 0 ≤ x ≤ 1, a curva y = x² fica abaixo e a curva x = y² ⇒ y = √x fica acima. Portanto, para cada x entre 0 e 1, y varia de y = x² até y = √x.
Passo 4
Como a área A da região é dada por ∫∫ₙ dA, numa forma iterada em x e y ficamos com a integral simples:
Passo 5
Passo 6
Agora calculamos a integral. Separamos em duas partes:
Passo 7
Passo 8
Passo 9
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos A = 2/3 - 1/3 = 1/3.