Integrar as equações diferenciais
2 y d y+(3 y+2 x) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação diferencial de primeira ordem
2y,dy + (3y + 2x),dx = 0 O conteúdo aqui é ODE de primeira ordem e veremos que não é exata, então vamos usar a substituição homogênea t = x/y para resolver.

Passo 2

Vamos escrever a equação no formato , com e Calculamos
que não são iguais, logo não é exata e não há fator integrante só em ou só em . Como e são homogêneos de grau 1, fazemos a troca , de modo que e

Passo 3

Substituindo na ODE original dividida por dy:
2y + (3y+2x)dxdy = 0 ; Longrightarrow ;2y + (3y+2ty)l(t + ydtdyr) = 0 Simplificando (dividindo por y e coletando termos) obtemos uma equação separável em t e y:
ydtdy = -2t^2 + 3t + 22t + 3 Portanto
2t + 32t^2 + 3t + 2,dt = -dyy

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de t, fazemos a divisão parcial
integral 2t + 32t^2 + 3t + 2,dt = tfrac12lnl(2t^2+3t+2r) + 3raiz7arctan!l(tfrac4t+3raiz7r) + C1, e no lado de y
integral -dyy = -ln|y| + C2 Juntando as constantes num C, ficamos com a solução implícita em t e y.

Passo 5

Voltando a t = x/y, a solução implícita geral é
tfrac12lnl(2(x/y)^2 + 3(x/y) + 2r) + 3raiz7arctan!l(4(x/y)+3raiz7r) + ln|y| = C Esta é a família de curvas solução da equação diferencial.

Passo 6

Se quiser, podemos combinar logaritmos:
lnl(yraiz2(x/y)^2+3(x/y)+2r) + 3raiz7arctan!l(4(x/y)+3raiz7r) = C

Resposta

\tfrac12\ln\bigl(2(x/y)^2 + 3(x/y) + 2\bigr) + \frac{3}{\sqrt7}\arctan!\Bigl(\frac{4(x/y)+3}{\sqrt7}\Bigr) + \ln|y| = C

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