Resolva as seguintes equaテァテオes diferenciais de Euler.
t^2 y^prime prime(t)-6 t y^prime(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y''(t)-6t,y'(t)=0
Esse tipo de equação admite a substituição característica y(t)=t^r, que transforma a EDO numa equação algébrica para o expoente r.

Passo 2

Supondo y(t)=t^r, temos
y'(t)=r,t^r-1, y''(t)=r(r-1),t^r-2
Substituindo na EDO,
t^2l[r(r-1),t^r-2r]-6tl[r,t^r-1r] =l[r(r-1)-6rr]t^r=0
Isso gera a equação indicial
r(r-1)-6r=0 Long<=ftrightarrow r^2-7r=0

Passo 3

Resolvendo r^2-7r=0 achamos as raízes
r=0 e r=7
Como são duas raízes distintas, a solução geral da EDO é
y(t)=C1,t^0+C2,t^7 =C1+C2,t^7,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1+C2,t^7

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